[일반] f, g:X->R is uniformly continuous일 때

[17(paimoncute)]

fg is uniformly continuous

이게 X가 bounded일땐 참이고 bounded가 아닐땐 거짓일 것 같은데, bounded일 때 증명 어떻게해요? lipschitz 쓰고싶은데 M을 잡기가 힘드네..

유계가 아닐 때도 f=g=x 잡아서 반례 만들고 싶은데 임의의 bounded가 아닌 X에 대해 fg가 uniformly continuous가 아니다 이걸 어떻게 증명할지 감이 안잡힌다

[고무졸직(uyau391bq71x)]

부등식 빠바박 만져서 풀었던 기억이 있는데 - dc App

[익명(oen0c)]

f랑 g가 X에서 연속이면 fg는 연속이고 X가 closed&bounded면 fg는 연속=>균등연속 X가 closed가 아니라 (a,b)면 [a,b]로 연속을 확장시킬수 있을때 균등연속

[17(paimoncute)]

그러면 X가 유계라 하더라도 fg가 균등연속이 아닐수도 있는거임?

[ScARfaCE(kayuaao)]

f=g=x로 잡고 둘 다 정의역을 R로 잡아놓으면 반례나온다아님?

[ScARfaCE(kayuaao)]

x^2가 R상에서 uniformly conti.가 아닌 이유는 쉽게 보일수있을거고

[17(paimoncute)]

정의역이 R이 아니라 임의의 유계가 아닌 X에 대해 보이려고 하니까 너무어려움

[ScARfaCE(kayuaao)]

아 임의로 정의역을 unbounded로 설정하겠단 소리였네

[coffeemath(coffeemath)]

비연결구간일 때는 빡세니까 정의역을 무계연결구간으로 하면 궁극적으로는 (a,∞) 혹은 (-∞,a)에 대해서 구하는 걸로 해야 할 것 같은데...

[익명(58.127)]

극단적으로 X=N으로 잡으면 unbounded지만 X 위의 모든 연속함수가 당연하게 uniformly conti가 됨. 그래서 반례를 일반적으로 구성할 수 있음을 보이려면 X에 좀 더 합리적인 조건이 있어야 함

[익명(121.177)]

정의역이 유계이고 연속인 함수가 주어졌을때 xn이 cauchy일때 f(xn)이 cauchy를 만족하면 f는 u.c