[대학교이상] 경계라는 게 뭐임?

[익명(111.118)]

대학 1학년 때 캘큘러스에서는

열린 집합은 경계를 포함하지 않는 집합이고, 닫힌 집합은 경계를 포함하는 집합이다.

로 배웠고 해석학에서는

열린 집합은 그 집합에 속하는 임의의 점에서 그 집합에 포함되는 적당한 근방이 존재하는 집합이고, 닫힌 집합은 여집합이 열린 집합인 집합이다.

로 배우던데 '경계'라는 건 고급수학에선 어떻게 정의되는 거지 아래로 오면서 경계에 관한 내용이 사라졌는데

- dc official App

[익명(223.38)]

위상 ㄱ

[익명(114.202)]

the boundary of a subset S of a topological space X is a set of points in the closure of S not belonging to the interior of S.

[익명(116.36)]

closure에서 interior뺀거

[익명(175.223)]

이러면 isolated point도 포함하지 않음? isolated point도 boundary의 일부였나 - dc App

[호호호히히히(nise1005)]

그러네요 고립점도 포함되겠네요

[호호호히히히(nise1005)]

끝에 있는 점들 아닌가요? 극한 점

[Affine(algebra500)]

다양체에서는 R^n 이랑 비슷하냐 안비슷하냐를 따지게 됨. 가령 경계를 포함한 디스크의 경우 열린집합이 아니기 때문에 R^2 랑 isomorphic 하지 않게 됨. 하지만 그 경계를 떼어내기만 하면 열린집합이 되므로 R^2 와 isomorphic 함. 이 경계가 빠진 부분을 interior 라고 정의하고, 그 여집합을 boundary 라고 이름붙임.

[Affine(algebra500)]

manifold with boundary 검색