첫번째 사진의 15번 C 번 문제를 저는
I=R-Q=(R n(교집합 부호) Q^c(여집합부호)) 로 생각해서 풀려고 했는데요.
그러면 R은 극한점들을 모두 포함하고, 모든 점에서 근방이 있으니
열린 집합이기도 하고 닫힌 집합이기도 하고,
Q는 앞선 연습문제 3.2.3(a) (위 3번째 사진)에서 처럼
R에 대해서는 무리수를 포함하지 않으니, 열려 있지 않고,
무리수 극한점을 포함하지도 않으니, 닫혀 있지도 않게 되는데요.
그리고, 이제 위 4번째 사진의 3.2.13 정리에 따르면,
집합 O가 열린 집합 = O^c가 닫힌 집합 이니,
이 명제 양 쪽에 부정을 취해도 같잖아요?
그러면 "집합 O가 열린 집합이 아닌 것 = O^c가 닫힌 집합이 아님." 이 되는데
이것과 "Q가 열린 집합이 아니고, 닫힌집합도 아니라는 것"을 합치면, "Q^c도 열린 집합도 아니고 닫힌 집합"도 아니게 됩니다.
즉, I=R-Q=R n(교집합 부호) Q^c(여집합부호) = R(열린ok, 닫힌ok) n Q^c(열린x, 닫힌x) 이 돼서
문제가 보이라는 것, 즉, 무리수 집합 I가 열린 집합의 셀수 있는 교집합으로 나타낼 수 있음을
보이는데 실패 했는데요...
그래서 풀이(위 2번째 사진)를 봤는데,
R-Q가 아닌 Q^c로 해서 드모르간 법칙 써서 풀었더라고요.
이제 질문입니다.
질문 1. I를 제 풀이처럼 R-Q가 아닌 답지의 풀이와 같이 Q^c로만 해도 문제가 없나요? R-Q=I가 더 맞지 않나요??
질문 2. Q^c로 했을 때는 문제가 풀리고, R-Q로 했을 때는 문제가 안풀리니 참 느낌이 이상한데요.
Q^c로 했을 때는 Q를 안에서 들여다 보는 느낌이고, R-Q로 했을 때는 Q를 거시적으로 보는 느낌인데
이게, 열린 집합의 유한 교집합은 열린 집합인 반면, 열린 집합의 무한 교집합은 열린 집합이 아닐 수 있어서
Q^c(열린x, 닫힌x) 가 되는 건가요?
질문 3. 제 풀이의 문제점이 문제에서 제시하는
"셀 수 있는" 이라는 용어가 "무한 개의 셀 수 있는" 이어야 해서
제 풀이에서는 유한개로 나타내려 했기 때문에 잘못된 풀이인가요?
너는 수학 접어라 그냥...
취미라 괜찮습니다ㅎㅎ
그냥 묻는건데 Q가 F_sigma, Q^c는 G_delta임을 보이는건데 clopen 얘기는 왜 나오는거임?
그리고 R-Q=Q^c=I인데 어디가 이상한거임
G_delta임을 보이려고 R-Q 에서 각각의 clopen 을 따져 본 건데요. 전체 집합이 뭔지 모르는 상태에서 R-Q=Q^ c 로 해도 되나요? 실해석학이라 그냥 전제가 R인건가요?
내가 아는 Gd set의 정의는 굳이 clopen을 안따져도 되는데 책에선 뭐라고 나와있길래 그럼? 그리고 해석학에선 전체집합을 R로 보면 됨
책에선 저 위 첫번째 사진에 나와 있는게 다입니다. “B를 열린 집합의 셀 수 있는 교집합으로 나타낼 수 있을 때, B를 G_delta라 한다.”
그럼 굳이 clopen을 따질 필요는 없지 일단 I 자체는 not clopen인건 맞는데
Q의 complement Q^c도 {x in R : ~(x in Q)}로 정의되는데 여기서 이 집합은 RnQ^c랑 같아지잖아 그래서 Q^c=RnQ^c=R-Q로 보는거라고 보면 됨
추가 질문입니다. 그러면 Q^c=I는 열린 집합들의 셀 수 있는 무한 교집합으로 표현 되나, 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아닌거죠?
맞아용
집합 A가 열리지도, 닫히지도 않았다면 당연히 A의 여집합도 마찬가지로 열리지도, 닫히지도 않은 집합입니다.
그리고 열린집합의 "가산 합집합은" 반드시 열린 집합이지만, "가산 교집합" 은 열린집합이 아닐 수 도 있습니다. 단적으로 G_δ 에는 열린집합과 열려있지 않은 집합이 포함되어있습니다.
마찬가지로 닫힌집합의 가산교집합은 반드시 닫힌집합이지만 가산합집합인 F_σ 는 닫혀있지 않을수도 있습니다.(물론 열린집합도 포함되어있구요)
사실 R-Q 를 사용해서 풀어도 아무 문제는 없습니다. 단지 이 문제에서 가장 중요하게 사용된 성질은 유리수집합 Q가 가산이라 r_n 으로 나타낼 수 있다는 사실이었어요. 하지만 님은 Q가 가산이라는 정보를 사용하지 않은 채로 "open and closed" 교집합 "not open and not closed" 이라는 교집합 관계만 들여다보고 계시니 답이 안나오는 것이죠. 왜냐하면 그런 교집합을 한 결과가 열려있다거나 닫혀있다거나 결론을 낼 수 없으니까요.
한마디로 문제에서 주어진 조건을 다 안쓰셨기 때문에 답이 안나왔을 뿐, Q^c 냐, R-Q 냐.. 이런 표기의 문제가 아니라는 이야기입니다.
오... 그렇군요 답변 감사합니다.