[일반] 적분문제

[익명(203.123)]

어떻게 푸냐?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

Putnam and Beyond냐? putnam느낌 나는데 되게 재밌네

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

힌트는 연속함수니까 리만적분으로 바꾸고 이걸 좌표평면에서 생각해보란거임

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

f cos을 a로 f sin을 b로 놓아도 되겠지

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

오른쪽은 좀 만만치 않은데 위 접근법이 유용할거라 생각은한다 일단 자고봐야지

[익명(203.123)]

뭔소린지 모르겠다

[박테리아(bacteriophage012)]

적분에 제곱한거 전부 (integral g)^2=integral g(x)g(y)dxdy꼴 이중적분으로 바꾸고 정리해서 f의 bound만 적분밖으로 뽑으면 될듯 - dc App

[익명(203.123)]

안되

[박테리아(bacteriophage012)]

방금계산해보니까 되는데? 1-sinxsiny-cosxcosy=1-cos(x-y)=<(x-y)^2/2 적분ㄱ - dc App

[익명(121.142)]

이중적분 바꾼다음에 f의 bound를 어떻게 뽑냐

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

아직있냐? 왼쪽은 Minkowski 부등식인데 먼지 모르거나 증명법 모르면 그냥 거리부등식으로 증명 가능함. 적분들을 잠시 유한합 취급하면 f(xn)cos xn을 x방향 성분, f(xn)sinxn을 y방향 성분으로 갖는 vn을 생각하면 f의 적분은 vn들의 크기의 합이 되고 f cos적분은 x방향의 합, f sin는 y방향의 합

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

이제 이걸 거리부등식과 피타고라스쓰면 왼쪽은 증명되겠지.(유한합일때 성립하니까 유한합의 극한으로 나타나는 적분도 성립할거고) 오른쪽은 좀 더 어려운데 일단 f가 상수일때 성립하는걸 보이고, 구간이 a b 일때랑 b c일때 각각 성립하는걸로 구간이 ca일때도 성립하는걸 보이면 됨

[익명(121.142)]

있긴 있는데.. 여전히 모르겠다ㅠ 관심가져줘서 고맙다!

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

일단 그냥 유한합으로 생각하고 풀어봐라

[coco(166.104)]

써있는대로 쫏아가니까 되네! 그런데 식의 두 부등호는 순서가 바뀐 듯--웃자고 하는 얘기임.

[coco(166.104)]

0 <= f(x)f(y) (1- cos x coy -sin x sin y) = f(x)f(y) (1 - cos(x-y)) <= f(x)f(y) (x-y)^2/2 <= MM (x-y)^2/2 이니까 MM이 적분밖으로 나오지 않나? 내가뭘 잘 못 생각하고있나? 그리고 M=0이면 좌변 부등호는 <=, M>0 이면 우변 부등호는 < 로 바꿀 수 있지않나.