[중고딩문제] 연속에 대한 질문입니다.

[익명(223.62)]

1. 정의역 내에서 연속이면 연속함수인가요?

1/x는 x=0에서 정의 되지 않고 다른 곳에선 모두 연속이니 연속함수라 부를 수 있는지 궁금합니다.

2.

fx=

y=1 (x는 유리수)

y=0 (x는 무리수) 는 연속한가요?

유리수와 무리수 모두 무한히 존재하니 우극한과 좌극한이 유리수이면서 무리수 일 수 있는지 궁금합니다. 아니면 이게 혹시 진동하는건가요?

- dc official App

[카카오(76.139)]

1. 네, 사실 1/x라고 그냥 쓰면 안되고, 함수는 처음에 쓸때부터 정의역과 공역을 지정해주어야되요 2. 연속하지 않아요. 실수에서 극한값은 (우극한이든 좌극한인든) 존재하면 유일해야 합니다. 유리수이면서 무리수일 수 없어요. 대학수학에서는 '진동한다'라는 표현을 따로 쓰지 않고 그냥 "수렴하지 않는다' 라고 이야기 해요

[익명(223.33)]

답변 감사합니다. 그렇다면 2번 질문에서 특정 수의 우극한이 유리수인지 무리수인지의 여부는 알 수 없는 것인가요? - dc App

[카카오(76.139)]

특정 수의 우극한이라고 하면 안되고, ‘특정 수열의 우극한‘ 이라고 말하려 했던거 맞죠? 수열의 극한값이 유리수인지 무리수인지 확인하는 효과적인 방법은 따로 없을거에요 유리수로 이루어진 수열의 극한값이 무리수가 될 수도 있고 반대로 무리수로 이루어진 수열의 극한값이 유리수가 될수도 있어요.

[갱생리카(lillollool)]

1.가끔 공대 미방같은책에선 고딩때마냥 정의안되는점있으면 불연속이라 할때있더라. 수학과에선 어지간한 맥락에선 정의역 내에서만 연속을 논함. 2.해석학 한 서너강째 들으면 그거 불연속인거 증명 함. 극한 모든점에서 존재하지않는 예제로 써먹기 딱좋아서.

[익명(211.48)]

1. 네 수학적으로, 연속함수가 맞습니다. 간혹 연속함수가 아니다. 라고 배우는 곳도 있는데요, 초등학교에서 큰수를 뺄 수 없고, 중학교에서 루트 안의 수가 음수일 수 없고… 이런 것과 비슷합니다. y=1/x 같은 경우, 정의역은 특별한 언급이 없다면, R-{0}입니다. 정의역으르R으로 한다면, 함수의 정의에 의하면 아예 함수가 아닙니다.

[익명(211.48)]

2. 실수집합에서 실수집합으로 가는 함수 (혹은 실수의 부분집합) 가 연속함수 라는 것은, 위에 1번과 같이, 덜 엄밀하게 말하자면, 정의역의 임의의 점에서 연속인함수, 또는 정의역에서 수렴하는 수열에 대해, 치역에서도 수렴하는 함수 즉, 한 점으로 수렴하는 임의의 수열에 대해 lim f (an) = f(lim an) 인 함수가 연속함수입니다

[익명(211.48)]

위의 원 게시글의 경우, 0으로 수렴하는 유리수열 예) {0.1, 0.01, …}과 0으로 수렴하는 무리수열 예) 원주율을 이용하여 { 0.3141592…, 0.0314159…, 0.031415…} 같은 경우, 정의역에서는 같은 점으로 수렴하지만, 함수값들의 수열은 한 점으로 수렴하지 않기에 연속함수가 아닙니다.

[Affine(algebra500)]

1번은 정의에 따라 다름. 연속을 어떻게 정의하느냐에 따라. 1/x 가 연속이라고 하면 '아 저새끼는 정의역에서 연속이면 연속이라고 정의하고 있겠구나' 1/x가 불연속이라고 하면 '아 저새끼는 실수전체에서 연속이어애 연속이라고 정의하고 있는거구나'

[Affine(algebra500)]

수학적으로 1/x 는 연속이다 아니다 딱 잘라 말할 수 있는게 아님. 그냥 사용하는 단어와 약속이 다를 수 있을 뿐임.