S={v1,v2, .., vn), S는 유한 벡터공간 V의 부분집합이고 dim V=n>0 이면
1. S는 V의 기저이다.
2. S는 일차독립이다.
3. <S>=V
가 동치라는데
2 -> 1 증명할때
dim V=n일때 cardinality 가 n보다 큰 집합은 모두 선형 종속이라서 기저가 될수 없다는건 알겠음
근데 원소의 수가 n 보다 작은 기저가 있을수도 있는거 아님?
그래서 없다는 걸 증명할려 하려고하는데 어떻게 해야할지 모르겠음
미지수의 개수보다 방정식의 갯수가 많으면 해가 무수히 많다는거 이용하면 될려나
Span할수없음 개수가 더작으면
그걸 어떻게 증명해야할까 모르겠음
span 한다고 가정한다음 모순을 이끌어보삼 - dc App
증명을 해서 알아야할 사실이 아니고 basis의 definition임 이상한데서 시간쓰는듯 자꾸
정확히는 차원만큼의 개수의 벡터들이 선형독립임과 그들이 기저임이 동치임 - dc App
음.. 일단 만약 dim v=n인데 n 보다 적은 수의 원소를 가지는 기저가 존재한다고 가정하자. 예를들어 n-1 그러면 n-1보다 원소많은 친구들은 전부 종속임. 모순 - dc App
굿
행렬로 바꾸고 n-1인 기저가 벡터공간의 원소를 나타낸다고 가정한뒤 계수가 유일하지 않고 무한하므로 벡터공간의 원소 를 나타내는 방법은 유일하다에 모순이다 이렇게 증명했는데 더 간단한 방법이..
dimV=n>0, S={v1,...,vm}이 주어졌고 2->1을 보일 때, S 보다 큰 집합이 기저가 되든 아니든 중요한게 아님. 벡터공간의 기저는 유일할 필요가 없고, 일차독립인S가 V를 생성할 수 있는지만 체크하면됨 S보다 작은 기저를 체크할 필요없음. 2를 가정하고, S보다 원소가 작은 기저가 있으면, S가 종속이라 바로 모순이거든
S가 V를 생성하는지만 체크하자 임의의 v in V에 대해, v in S라면 논의가 끝. v in V-S라면 a1v1+a2v2+...+anvn+a(n+1)v=0 을 생각해보자. a1~a(n+1) 모두 0이면, 0벡터를 생성한거고, (a1~an)벡터가 0이 아니라면, a(n+1)벡터 역시 0이 아님.(왜냐면0이면 S가 일차종속이므로 모순)
이제 등식의 법칙으로 a(n+1)v항만 남기고 다 이항시킨 후, (a(n+1))^(-1)을 곱해주면(벡터공간에는 나누기라는 개념이 없음) 임의의 v=-(a1/an+1)v1+...+(-an/a(n+1))vn이므로 S는 V를 생성하고 S는 V의 기저가됨