[일반] 넓이 질문좀 답변좀 제발!! ㅜ

[익명(220.76)]

갑자기 문득 든생각이고 잘안되서 질문하는것인데 사각형이됐든 삼각형이됐든 어떤도형 내부를 삼각형으로 쪼갰을때 그삼각형들의 넓이의합이 그도형전체의 합이라는것을 누구나 자명하게 받아들이는데 실제로 수치적으로 그렇다는것을 어떻게 보일수있을까.... 예를들어 직사각형 내부를 여러직각삼각형으로 쪼갠다고 할때 각각의 직각삼각형의 넓이를 구해서 다합친것과 그 직사각형의 가로곱하기 세로가  수치적으로 같음을 어떻게 보일수있음??

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그거 많이 어려운 문제인데 대학원 실해석학 들으면 "measure의 countable additivity"라는 걸로 증명 가능함

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사실 이 글에서는 다각형을 다각형으로만 나눴기 때문에 좀 더 쉽게 보일 수도 있을 것 같은데, 위에 말한 개념은 꼭 나눈 조각이 다각형일 필요가 없어서 조금 더 강력한 명제임

[익명(220.76)]

아니 이게 누구나가 당연하게받아들이니까 그냥 직관적으로도 파악가능한 개쉬운 문제일줄알았는데 전공수학까지가야되는거임?? 헐 ㅠㅠ 중고등학교때 이런의문한번쯤은품지않나 그냥 다들 대강 그러려니하고 넘어간건가....

[익명(220.76)]

ㅜㅜ

[익명(220.76)]

혹시 다각형으로만한정하면 어떻게 보일수있는지 관련 문서라도 알려주실수있는지 ㅠ

[TQFT(lemonkx)]

전공 수학은 당연한 것도 증명이 필요하다고 여기는 경우가 많은데, "넓이"라는 개념도 그 중 하나라 그럼. 예를 들어 가로길이 3 세로길이 4인 직사각형이 있을 때, 얘를 평면 상에 어떻게 놓던지 넓이가 12가 된다는 것도 증명 대상임.

[TQFT(lemonkx)]

과연 x축 y축에 평행하게 놓은 직사각형과 비스듬하게 놓은 직사각형의 넓이가 같을까? 이런거

[익명(220.76)]

흐음 그럼 고등학생수준에서는 저렇게 다각형으로 한정해도 그낭 그러려니 하고 넘어가야되는것인가...

[TQFT(lemonkx)]

초중고등학교 과정에서 직각삼각형의 넓이를 어떻게 정의했는지를 생각해보면 직각삼각형 2개로 직사각형을 만든 다음에 '당연히' 넓이는 직사각형의 넓이의 1/2이니까 1/2*밑변*높이라고 정의하잖음. 이걸 받아들일 수 있다면 다각형에 대해선 충분히 증명가능함.

[TQFT(lemonkx)]

윗 답글의 여러운 이야기들은 같은거 2개로 큰거 만들면 큰거넓이가 작은거의 2배가 된다는 걸 '당연'하다고 생각하지 않기 때문에 나오는 이야기들임 ㅋㅋ

[익명(220.76)]

어찌됐든 답변감사...

[익명(39.7)]

당연 안하다고 보는게 정확히 뭔가요? 어떤 조건에선 안 당연하다 같은 모티베이션이 있을거같은데

[TQFT(lemonkx)]

실해석에서는 우선 양변이 x,y축에 평행한 직사각형의 넓이를 가로*세로로 정의함. 다른 도형에 대해서는, 주어진 도형을 서로 겹치지 않는 직사각형들로 덮은 다음에 그 직사각형들의 넓이의 합 (중의 최소값)으로 넓이를 정의함.

[TQFT(lemonkx)]

따라서 미리 넓이가 정의된 도형(축에 평행한 직사각형)이 아니라면 당연하게 넓이를 구할 수 있는 느낌은 아니죠

[익명(106.101)]

그럼 자네는 수학과 대학원이야

[익명(121.156)]

이게 왜 어려운거지…리만적분 좀만 공부해보면 아주 쉽게 증명가능함 - dc App

[TQFT(lemonkx)]

리만 적분을 쓰던 르벡 척도를 쓰던 결국 '넓이'라는 개념을 한 번은 정의해야하는데, 어디서 만족할 수 있는지는 각자의 취향 차이일 수 있겠죠