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첫 번째 사진의 등식에서 좌변에서 우변으로 가는거 보이는중인데

좌변의 각원소 x는  x:I->UiUj Ai,j 이고 각 i에 대해 J의 원소 j(i)가 존재해서 x(i)는 Ai,j(i)의 원소가 되잖아?

여기서 (j(i))_i로 두면 I에서 J로가는 함수가 얻어져서 좌변 ㄷ 우변 의 포함관계가 얻어진다고 하면 될것같은데

(j(i))도 결국 함수란 소리인데 j(i)들이 각 i에 대해서 유일하게 존재하는게 보장된것도 아닌데 함수라고 둬버리면 안되지않음?
아마 AC써서 보이는듯한데 어떻게 하면 되는거야?