[일반] 대수질문..

[고무졸직(uyau391bq71x)]

R 이 integral domain 이고

p(nonzero nonunit)가 R의 irreducible element 일때,

p가 a를 나누지 못하면 gcd (p,a)=1 이라는걸 어떻게 보이면 좋을까

p가 irreducible 이라는건 두 원소의 곱으로 나타냈을때 하나는 unit 이라는건데..

예시를 들어서 이해하려고 해도Z 밖에 생각안나구 Z같은 경우는 그냥 prime이랑 같아서

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[익명(1.250)]

Gcd가 1보다 크다고 가정하면 1보다 큰 모든 정수는 소수인 약수를 가지기 때문에 gcd는 소수 q를 약수로 가짐 q가 gcd를 나누고 gcd가 p, a를 나누기 때문에 q는 p, a의 공약수임 그럼 p=qn, a=qm이므로 q=p/n임 그러면 a=(pm)/n임 m/n이 정수가 아니면 a가 정수라는 사실에 모순이고 정수이면 p가 a를 나누지 못한다는 사실에 모순임 근데 이건 정수론적인 증명이라 R이 정수집합이 아니면 엄밀하지 못한 듯 보임 근데 gcd는 정수에서만 논하는 개념 아닌가 아직 학부생이라 정수에서만 다뤄서 - dc App

[익명(211.234)]

p=gcd(p,a)r일때 r이 unit이면 p가 a를 나눠서 모순, 따라서 gcd(p,a)가 unit

[고무졸직(uyau391bq71x)]

와 고맙다 - dc App