명제p와 명제q에 대해

p가 참이면 q가 참
q가 참이면 p가 참
p가 거짓이면 q가 거짓
q가 거짓이면 p가 거짓

이 모두 참일 때, p와q가 동치라 정의하잖아?

여기서 궁금증이 생겼음.

1=1이다 와 "1+1=2"이다는 진정한 의미에서의(우리의 직관에 부합하는) 동치명제인건가?

1=1이다 라는 공리1과
1+1=2이다 라는 공리2는 엄연히 '다른' 공리잖아

주어진 공리1 2를 받아들인 하에서는 동치명제지만

공리하나를 가정하지않아버리는 순간 동치명제가 아니게돼버리는데 이게 뭔가 직관에 부합하지 않는단 말이지

임의의 공리 A를 가정하지 않아도
p와 q가 동치명제가 되는 "진정한 동치"를 정의할 수 있을까?

만약 p가 참이게되는 공리 A_p를 가정하지않으면
p가 항등적으로 거짓이돼서 q의 참거짓에 상관없이 조건문자체가 참이되니 기존에 정의한 동치명제 조건을 충족하고

q가 참이게되는 공리 A_q를 가정하지 않았음에도
p와 q가 동치라는 것은

"p가참이면 q가 참이다"가 참이라는 소리므로
p가 무조건 거짓이 될 수 밖에 없고

따라서 A_p와 A_q는 같은 공리가 됨.

즉 이런 "진정한 동치" 라는 개념을 정의해볼 수 있지 않을까

싶은데 어떻게 생각함?

명제 P와 명제 Q가 같은 공리 하에 놓여있는 동치명제다. 를 정의하는건데
이런거 연구하는 분야도있음?

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