분포는 무한히 미분가능하고 콤팩트지지를 가진 함수 집합에 대한 연속적인 선형 사상이고
ordinary function에 대해선 다음과 같이 정의되며 표기되는거로 알고있습니다.

유사하게 디랙 델타 함수는

첫번째 줄처럼 정의되고 위 regular distribution의 표기를 남용해서 밑에줄처럼 표현되는데요


이런 점을 봤을때는 디랙 델타 함수는 일단 단지 함수에 대한 사상이며, 굳이 적분표기를 남용해서 쓰자면 적분구간은 -무한대에서 +무한대로만 쓰는거로 알고있습니다

하지만 이런 표현도 쉽지 않게 보이는데

어떻게 다음과 같이 적분구간이 무한대에서 무한대가 아닌 디랙델타를 표현할 수 있고 다음과 같은 식이 성립하는지 이해가 잘 안됩니다. 

이런 식들은 디랙델타함수의 분포로서의 정의와 성질로부터 유도된건가요? 아니면 그냥 물리,공학에 적용하기위해 만들어진 휴로스틱인가요?

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