Axiom of regularity - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
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ZF 공리계에서 정칙성 공리는 위 문장이잖아?
저 문장의 의미가 'x가 공집합이 아니면, x의 원소 중에서 x와의 교집합이 공집합인 원소가 존재한다.' 맞지?
그래서 다음과 같은 집합 A는 존재할 수 없다는 거 이해했음.
A = {A}
그런데 다음과 같은 집합 B는 존재할 수 있지 않아?
B = {B, 2}
(여기서 2 = {∅, {∅}})
왜냐하면, B와 2는 서로소 집합이잖아.
2의 원소는 ∅와 {∅}인데,
￢(∅ ∈ B) ∧ ￢({∅} ∈ B) 잖아?
따라서 2는 B의 원소 그리고 B∩2=∅ 이 성립함.
즉, B의 원소 중에서 B와의 교집합이 공집합인 원소 2가 존재함.
따라서 정칙성 공리와 집합 B는 모순되지 않음.
내가 잘못 생각한 거 있으면 말해줘.
https://math.stackexchange.com/questions/2537526/axiom-of-regularity-allows-for-this-set-be-an-element-of-itself
아;; B가 집합이라는 게 맞다고 결정된 후에야 B에 정칙성 공리를 사용할 수 있는데, ZFC 공리계로부터 B가 집합이라고 증명할 방법이 없구나... 만약 B가 집합이 맞다면, 짝 공리에 의해 {B}도 집합인데, {B}∩B = {B}∩{B, 2} = B ≠ ∅ 이므로 정칙성 공리와 모순이네. 따라서 B는 집합이 아니네. 알려줘서 고마워.
한 가지 덧붙이자면 링크의 답글에도 적혀있지만, B={B,2}라는 문장은 B를 직접 구성 혹은 정의한게 아니고 "어떤 집합 B가 B={B,2}를 만족한다고 가정하자"라는 문장임. 정의되지 않은 것에 공리를 적용해봐야 별로 의미가 없음.
생각해보면 ZFC 공리계에서 의미하는 '집합' 이라는 건, 결국 공집합에 집합 생성 함수 역할을 하는 공리들(짝 공리, 합집합 공리, 멱집합 공리, 무한 공리 등등)을 반복적으로 적용해서 만들어지는 결과물들의 모음이네?
거의 정확한 이해! 모든 건 우리가 이미 아는 것으로부터 공리계를 통해 확장해 얻어지는 것. 딱 한 가지만 언급하자면, ZFC에는 공집합이 존재한다는 공리는 없기 때문에 공집합으로부터 만들진 않음. 대신 무한 공리로부터 "무한집합 N은 존재하기" 때문에, 공집합을 {x in A: x≠x}로 정의할 수 있고 거기서부터 쌓아올리는건 가능함.
여기서 어떤 대상을 '정의한다'라는 것의 의미는, 대상의 이름을 명시하고 그 대상의 의미가 공리들(사실상 ZFC)로부터 도출되는 과정을 보인다. 이런 뜻이지? 자명한 것은 생략할 수 있고.
ㅇㅇ. ZFC의 공리에는 자기 언급(self-reference)이 없기 때문에, A를 {A}라고 정의하자라는 문장인 "A={A}"라는 문장이 힘을 잃게 됨. 그렇다고 A={A}가 되는 A가 없냐?하면 그것만으론 부족하고, 본문에서처럼 axiom of regularity를 써서 모순을 이끌어내야하고.
ZFC 공리들로부터 ￢∃A(A={A}) 를 직접 도출할 방법은 없고 귀류법, 즉 ZFC 공리와 ∃A(A={A})가 모순이라는 것을 증명하는 수 밖에 없다는 거구나. 이것저것 알려줘서 고마워
그게 직접 도출한 거임. A={A}로 "정의"했다는 게 말이 안된다는 거고