이걸로 하루종일 생각하다가 이상태로는 못그리겠구나 하는 좆됐다는 생각이 들어서 물어봄...
먼저 프벅 예제 4에서 시작함.
이 문제를 굳이 표준순서기저를 넣어가며 할 바에 차라리 쌍대를 선형변환행렬로 표현하면 안되냐는 생각이 듦
Dv : V -> V* 로 둔다면, V의 표준순서기저 e에 대해
[Dv](b*, e) = [DvIv](b*, e) = [Dv](b*, b)[Iv](b, e)이고
[Dv](b*, b) = I_2, [Iv](b, e) = ([Iv](e, b))^-1 = ((2,1), (3,1))^-1 = ((-1,3), (1,-2))이므로
[Dv](b*, e) = ((-1,3), (1,-2))로 바로 구해짐
내친김에 다이어그램까지 만들자 해서
V
↑ ╲
│ Dv
│ ↘
V ----Dv---> V*
기저변환행렬의 역행렬이 표준순서기저에서의 쌍대공간의 행렬표현인걸 보이고
자신있게 전치함수 T^t 로 넘어갔음. 그게 예제 5임
하던대로 다이어그램을 그리고
P_1(R) ----D_(P_1(R))---> P_1(R)*
| |
T T
↓ ↓
R^2 -----D_(R^2)-----> R^2*
변환들의 행렬표현과 기저변환을 적절히 섞으면 [T^t](b*, r*)을 구할 수 있겠지 했는데
옘병 시발 역함수만 구해지지 T^t를 구할수가 없음
한나절 똥꼬쇼했지만 웬걸 애초부터 저런 그림으론 T^t를 그릴수도 없었음
나 이거 다이어그램으로 못그리면 날린 시간이 억울해서 뒤질거같아
T^t는 선형변환 다이어그램으로 어떻게 그림?
이걸로 하루종일 열심히 고민하다
((2,1), (3,1))^-1 = ((-1,3), (1,-2))라고 했는데 이거 확인은 함?
오타임 전치해서봐주셈
우선 dual을 써서 문제를 풀어놓고 갈건데 표기를 책이랑 맞춰서 좀 바꿔쓰겠음 5의 T는 isom.이니까 둘을 동일시하고 4의 Identity matrix, map를 T로, e는 γ로 쓰겠음 그리고 D_γ^β*=[((β_i)*)(γ_j)]로 정의하겠음 [T]_β^γ=[T(β_1) | T(β_2)]_γ는 기존 정의대로
이때 D_γ^β* [T]_β^γ=D_β^β*=I_2가 성립하고 γ**=γ와 (D_γ^β*)^t=[((β_j)*)(γ_i)]=[((γ_i)**)((β_j)*)]=D_β*^γ**를 관찰함
이제 I_2=D_γ*^γ**=D_β*^γ** [T^t]_γ*^β*=(D_γ^β*)^t [T^t]_γ*^β*이므로 [T^t]_γ*^β*=inverse of (D_γ^β*)^t=([T]_β^γ)^t
dual은 여기서 행렬로 표기했지만 linear map이 아니라 두 벡터공간 사이의 화살표보단 pairing으로 쓰는게 좋음 이게 어떻게 되어있냐면 [((β_i)*)(γ_j)]의 앞뒤로 e_i, e_j를 붙이면 ((β_i)*)(γ_j)가 나오도록 되어있거든
이제 5의 상황을 다시 V=R^2, id=T:(V,β)→(V,γ)로 쓰고 diagram을 그려보자면 (D_γ^β*)(1×T_β^γ): (V*,β*)×(V,β)→(V*,β*)×(V,γ)→R는 (e_i,e_j)→(e_i,T(e_j)=∑c_jk e_k)→((β_i)*)(∑c_jk γ_k=β_j)=δ_ij, 즉 I_2와 같음
R:V*×V→V×V*=V**×V*가 entry의 순서를 바꾸는 map일 때 (D_β*^γ**)(1×T^t)R:(V*,γ*)×(V,γ)→(V**,γ**)×(V*,γ*)→(V**,γ**)×(V*,β*)→R은 (e_i,e_j)→(e_j,e_i)→(e_j,T^t(e_i)=∑d_ik e_k)→((γ_j)**)(∑d_ik β_k*=γ_i*)=δ_ji, 이것도 I_2임
이제 diagram 따라가면서 I_2=D_β^β*:V*×V→R의 오른쪽에 [T]의 inverse를 곱하고(D_γ^β*) transpose를 취하고(D_β*^γ**) [T^t]를 곱하고(D_γ*^γ**) 다시 transpose를 취하면 I_2=D_γ^γ*:V*×V→R가 된다는 것을 알 수 있음 이것이 곧 [T^t]_γ*^β*=([T]_β^γ)^t임을 뜻함
사실 이걸 더 축약해보면 D_β^β*를 <·,·>로 써서 이 과정은 (v^t w=)<v,w>=<[T^t] v,[T]^(-1) w>를 말하는 것과 같다고 할 수 있음 그리고 이건 transpose를 matrix 뒤집듯이 쉽게 이해할 수 없으니 대신 inverse의 adjoint로 돌려서 해석한다는 얘기로 받아들일 수 있음
대단하네
드디어 텍으로 치며 다이해했다 가역동형은 좌표변환과 똑같고, 공간과 더블쌍대가 동형이니 공간과 쌍대를 페어로 묶었을때 그 전치가 곧 페어의 쌍대라니 발상이 신비하다진짜 새벽까지 답 써줘서 고마워