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고등학교교과서 순환논리 논문도있었네- dc official Appgall.dcinside.com이거 보고 갑자기 생각난건데 내 학창시절때 수학에 관심이 많았는데 이런류의 질문이 많았음
(지금 나는 직관파라 이제는 formal하게 증명쓰는걸 매우 싫어하지만 엄밀하게 수학개념이 궁금했던 시기가 있었다)
물론 매우 대부분 사람들은 그냥 외우거나 캐치하기 힘들거나, 직관으로 받아들일수 있어서 이런 질문들이 안나온거 같긴한데
그 당시에 이런질문들을 했는데 역으로 받으면 어떻게 답해야할지 막막해서 어떻게 있나 공유해 봄
물론 그때 받은 수학선생님들한테 내 답은 나도몰라거나 '그냥 시험이나 잘봐' 한쿡식이였다
입장을 바꿔서 근데 막상 이걸 학생한테 받을때 진지하게 답한다면 어떻게 답하는게 좋을지 궁금해졌다
물론 애가 매우 똑똑하다면 그냥 관련된 책던져주고 여기 읽어오고 궁금한거 있으면 물어봐 할거 같긴한데 이 방법외에는 뭐가 있을까?
넓이, 둘레 이런개념을 엄밀히 정의하는건 나도 그때 관심 밖이 였지만 (그냥 여기까지는 직관으로 이해해서 의문조차 들지 않았음)
수체계랑 집합은 가장 기초가 되서 유심히 볼만 한데 거기서 순환요소들을 가져와봄
계산을 다룰때 미적분에서도 lim sin/x = 1,
e^x, ln x, e 정의에도 순환논리 의존요소가 있긴한데 그건스킵
1번:
정수 = 자연수 + 0 + (-자연수)
자연수 = 양의 정수, 아니면 자연수 = 셀 수 있는 수
아니 선생님 보세요 그럼 정수나 자연수 둘중 먼저 하나를 다른거 없이 정의하고 이렇게 해야되는거 아니에요?
도대체 셀수 있는 수가 뭔데요?
이건 뭐 수학 다 배우고 보면 엄밀히 말하려면
결국 ZFC 공리계에서 만들어내거나 induction이 성립하는 제일 작은 무한집합 (최초의 무한 ordinal) 이라고 답해야 되는데
여기에 착안해서 수학적 귀납법이 뭔지 아니? 수학적 귀납법 가정이 성립할때 {n: P(n)}을 다 모은 집합을 자연수라고 한단다 정도로 퉁치는게 최선으로 보이긴한다
2번: (집합더이상 안배우긴 하지? 그래도 질문한다면?)
무한집합 <-> 유한집합
무한: 끝나지 않음, 유한: 끝남
이것도 골때리지 ㅋㅋㅋㅋ 둘중하나 개념을 설명해야 하는데
그나마 지금 땜빵으로 애한테 답하라고 하면 데데킨트 무한개념을 설명해주는 정도로 해야할듯
'어떤 진부분집합이 원래애랑 크기가 같아질수 있는 애를 무한이라고 한단다'
+ 예시말해줄듯 (짝수랑 자연수 같은거 보여주고, {1,2,..,n} 같은 유한집합은 절대로 안된다는거 확신시켜주고)
3번: *** (제일 골때림)
유리수 = 정수/정수-0 (정수 받아들이면 이건 문제없음)
실수 = 유리수 + 무리수
무리수 = 실수 - 유리수
이건 다시 돌아보니 진짜 답이 없다 ㅋㅋㅋㅋ
옛날에 선생님이 이포인트를 가져오면 실수는 수직선상 위의 수를 모아논거다로 답하는데
그러면 수직선상위 수가 도대체 뭐에요? 하면 질문을 회피했다
물론 배우고 나면 이게 납득이 가긴하는데 제대로 배우려면 completion을 배우거나 해석학에 나오는 코시수열이나 데데킨트방식을 설명해야하니까
그냥 이건 잘 설명된 article 찾아서 애한테 던져줘야 할거 같다
딱히 순환정의와 연관된 질문은 아닌거같은데 교육학적으로는 니가 적절한 질문을 던져서 학생이 스스로 답을 찾아갈 수 있게 해야함. 쉬운 방법은 마지막꺼를 예시로 들자면 해석학적인 정의를 자연스러운 단계들로 쪼갠 다음, 각 단계의 아이디어를 유도심문처럼 학생이 명백하게 끌어 낼 수 있도록 질문하고 맨 마지막에 그걸 합쳐서 정리해주는거지.
무슨소리야 여기 나온예제들 전부 순환정의가 맞고, 제일 근본이 되는 정의를 결국 줘야되는데 3번을 그렇게 답하면 교육철학만 말하는 뜬구름 잡는소리지 코시이전까지 제대로 실수정의를 수학사에 한적이 없는거 같은데 애한테 그냥 해석학 가르쳐라 라는 소리잖아 적어도 1,2번 처럼 Characterization이라도 주는 방향이 있냐? 문제임
나와있는 예시들은 순환정의인데 니가 진짜로 궁금한건 “진짜 정의를 어떻게 가르치냐?” 아님? 그런 의미에서 질문의 포인트는 순환정의 자체에 있는건 아니란 말이지. 그리고 어떻게 보면 해석학을 가르치라는게 맞지. 다만 해석학의 내용을 엄밀하게 정의 정리 써가면서 가르치라는게 아니라, 그 아이디어를 나누어서 가르치라는거임.
그리고 내가 유도질문을 하라는건 그냥 뜬구름 잡아라가 아니라 어느정도 수학사적인 생각의 흐름을 따라가라는거임. 학생이 그 내용을 받아들이려면 이미 아는 것에서 진짜 정의의 형태가 자연스럽게 나와야지, 그냥 “사실 이런게 있단다. 그래서 이건 이래.” 라고 해버리면 그건 교육적인 면에서 순환정의보다 하나도 나을 게 없음.
ㅇㅋ 질문을 그렇게 받아들일수 있다는 포인트 일단 이해함. 결국 위 세 요소는 전부 말한대로 '특정 개념의 정의를 엄밀하게 어떻게 가르치냐'로 환원될수 있다고 생각할 수 있으니까 다만 이걸로 환원할 수 없는게 본문에 나온대로 넓이를 measure로 가르치는거와 궤가 조금 다름 이유는? 이 정의를 가지는 상반되거나 상위개념이 있는데 특정 성질에 의해 분류가 가능하고, (Characterization) 역으로 성질자체를 만족하는 대상으로 정의가 가능한 요소들임
그래서 구체적으로 어떻게 하라는거임? 이라고 묻는다면, 니가 제시한 예시에 대해서 생각의 흐름들은 니가 생각하거나 수학사 책 찾아서 학생 수준에서 발상이 가능하도록 정리하거나 해야지. 어떤 방법을 쓰냐라고 묻길래 교육학적으로 바람직한 방법을 말해준거임.
따라서 그렇게 생각할수 있는 포인트는 이해하는데, 내 본문에 나와있지 않는 관점(전부라는건 아니고)은 characterization으로 정의를 가르치면서 해석학처럼 처음부터 정의만 달라놓고 직관적으로 와닿지 않는 요소들을 제외하고 충분히 두 개념을 수학적인 요소들로 분리할수 있는가임?
내가 원하는 답변은 '교육학'이 아니라 '수학교육학' 이라고 보면 되겠네 '교육학'처럼 general한 접근요소 말고 내가 말한 수학요소를 고려한 교육법이 적용될수 있는 방법이 있는지?
정의가 대상의 성질을 만드냐, 또는 성질이 대상을 정의하게 되냐는 사실 어떻게보면 현대수학이랑 근대.근세 수학을 가르는 중요한 포인트라고 생각함. 사실 학생이 충분히 mature 해야 해결할 수 있는 문제지. 내생각에 만약 내가 학생에게 이런저러한 정의를 현대적으로 가르쳐주고 싶다고 하면, 대수학을 예시로 들어서 먼저 “수학적 오브젝트의 현대적 정의 방법”을 가르칠 듯. 자연수, 정수, 유리수의 체계 확장은 상대적으로 직관적이니까 여기서부터 성질로써 구조를 정의한다는 사실을 알려주고, 그러면 이후에 학생이 이미 알고 있는 대상들의 성질에서 일반적 정의를 이끌어낸다는 컨셉트가 더 자연스러울거같음.
결국 학생이 현대적인 viewpoint를 이해할 수 있게 하려면, 최소한 한가지는 직접적으로 제시를 해서 문을 열어줘야 한다고 생각함. 그중 가장 직관적이고 자연스러운게 대수구조의 예시라고 생각하고. 사실 수학교육학과 교육학이 아주 뚜렷하게 분리가 되진 않음. 그렇게 유서깊은 분야는 아닌지라… 유도심문 하라는 것 자체가 수학교육학에서 추천되는 방식임. 그 이후의 내용은 “어떤 개념이든지 충분히 elementry한 비유가 제시된다면, 학생은 이해 가능하다” 라는 모 학자(이름은 까먹었는데 꽤나 의미있는 위치임)의 말을 따라, 학생의 백그라운드 수준에서 알맞은 유도심문을 하는거지.
놉 지금 질문자체를 잘못이해함 나도 그랬고 저런 질문을 하는 학생은 자연수가 주어지면 자연수->정수->유리수 건설은 혼자서도 생각할수 있음 + 그리고 교과과정에서 알려주지? (물론 엄밀하게 알려주려면 N*N에서 Z, Z*Z-0에서 Q로 equiv relation 주는거) 문제는 말단에 있는 '자연수'와 대수적으로 접근으로 유리수에서 건설이 안되는 '실수'임 그걸로 절대 지금 질문을 해결못함
구체적인 예시들에서 학생이 characterization을 이해했다면, 이후의 논의가 자연스럽게 이어질 수 있느냐? 는 이제 수학사를 참고해봐야 하는 부분이라고 생각함. 내가 아는 한도 내에선 거진 대부분의 경우엔 다들 충분히 합리적인 이유를 거쳐서 나온 정의들이라고 앎.
좋아 유도심문법은 내가 교육학을 배우진 않아도 어느정도 소크라테스식 대화법으로 가르치긴함 대신 수학적으로 어떤식으로 길을 이끌어야 되는지 질문이지
ㄴㄴ 내가말하는건 자연수 정수 유리수 실수로 수체계를 확장시켜라! 그래서 해석학적 정의를 얻어라! 가 아님. 일단 모든 것 이전에, 학생이 “현대 수학에서 무언가를 어떻게, 왜 정의하는가” 를 이해할 수 있어야 한다는 것임. 왜냐하면 니말대로 해석학의(사실 대부분 현대 수학의) 정의들이 성질을 만족하는 대상으로 정의하는데, 학생은 그런 방식의 정의법을 접한 적이 없다 이거지. 그러면 모든 논의를 시작하기 전에 학생에게 수학에선 뭘 어떻게 정의하냐? 를 알려줘야 하고, 내 개인적 생각으로 “현대적인 정의법”의 가장 자연스러운 예시가 “대수구조”(해석학이 아닌)의 예시들이라는 것임.
아주 약간 더 구체적으로 생각해보면 이런거지. 학생이 이미 정수 유리수가 만족하는 성질들(분배, 결합, 역원, 어쩌구…) 는 알고 있음. 여기서 학생에게 먼저 우리가 수식을 작성할 때 쓰이는 문자들(상수 a, b)같은게 진짜 숫자냐? 라는 의문을 제기하고 사실 우리는 여태까지 진짜 숫자라기보단 문자들을 연산했다는 사실을 알려줘야 함(산수에서 대수로의 전환, 피콕에서부터 기원하는 아이디어). 그러면 이제 학생은 그냥 문자들을 우리가 어떻게 연산하는지 의문이 생기는거지. 그러면 문자들을 연산하는 데에 규칙이 있다는 생각을 일깨워주고, 그러면 이제 그 규칙들을 모아서 어떤 체계를 만들 수 있다는 것을 깨닫게 하는거지. 그러면 역으로 이제 그 체계에 따라 그냥 숫자들인 정수와 유리수도 움직인다는 사실을 알려주는거지
이걸 통해 학생이 현대적 수학의 정의를 이해한다면, 거듭 말하듯 이후 실제로 무언가의 정의를 학생이 이해하게 하는 것은 순수하게 subject matter에 달러있다고 봄.
제 배경은 그냥 수학과고 지금 위 질문들은 명확하게 수학적인 답을 할수 있냐에 초점이 맞춰져 있습니다 교육학적으로 좋은답변 감사드립니다만 피콕과 대수성질들 개념설명은 이것도 지금 구체적인 질문한테는 헛다리 입니다 이유는 대수적인 성질로는 N, Z, Q/R/C를 분리하는게 최선이기 때문이죠. (Ringx, Ring, Field) 저 질문들은 단순히 아래 답으로만 해결할 수 없는 N이 정확히 뭔지, Q->R로 확장할때 도대체 빈틈(무리수)이 뭔지에 대한 질문입니다.
제가 말씀드리는 건 본문에 주어진 1.2.3번 문제상황에 대한 답변이 아닙니다. 그러한 의미에선 사실 글쓴이분이 원하시는 “구체적 답” 이 아닌 것은 죄송스럽게 생각합니다. 대수 이야기를 꺼낸 이유는, ”3번 문제“와는 전혀 내용적인 연관이 없습니다. ”학생에게 현대수학의 object정의방법“을 알려주기 위해서 대수학을 사용하자는 것이지, 개별 1 2 3번 문제에 대한 해답이 대수라는 것이 절대 아닙니다. 그럼 왜 주저리주저리 뭘 길게 썼냐, 생각하실 수 있지만, 제가 말하고자 하는건 이렇습니다 :
학생이 “현대수학의 정의방법” 을 이해한다면, 그 이후부터는 그냥, 수학교육자가 아닌, ”수학자의 사고“를 따라가도 된다는 말입니다. 해석학을 그냥 조금 덜 엄밀하개 가르쳐도 되고, 집합론을 덜 엄밀하게 가르쳐도 된다는 것입니다. ”생각의 흐름“만 존재한다면 말이죠. 다시 말해, 그냥 수학사를 따라가면 된다는 것입니다. 그리고 저는 ”어떻게 학생에게 현댜수학의 정의 방법을 가르치냐“를 구체적 해답을 드린 것이고, ”그럼 어떻게 문제 1 2 3을 수학사적 아이디어가 드러나게 설명하냐“ 는 질문자 분께 맡긴 겁니다. 다시 강조하지만 저는 대수를 통해 해석학을 설명하자는게 아닙니다. 3번 문제와 제가 지금까지 한 이야기는 전혀 관련이 없습니다.
한문단으로 간단하게 정리하면 이렇습니다. 학생에게 그냥 해석학을, 집합론을 못가르치는 이유는 학생이 “수학적 정의방식”을 모르기 때문입니다. 그 “정의방식”을 가르쳐버리면, 학생에게 그냥 해석학을 가르쳐도(조금 덜 엄밀하게) 학생이 이해할 것입니다.
중요한건 학생이 그 정의를 명확하게 아느냐가 아니라, 흥미를 유지하고 그것에 대해 계속 생각하려고 하는가 밖에 없습니다. 수들이 있고 그것을 분류한게 그것들이다, 집합은 유한성을 기준으로 분류한다 그정도로도 설명은 충분하긴 합니다. 그 때 기준으로는요. 그래도 덕분에 여기까지 오셨네요.
포인트는 '정확히 어떤' 기준으로 분류하냐가 저 학생들이 하는 질문의 포인트입니다 '정확히 어떤' 기준이 뭔지 설명하는게 셋다 골때리는 문제고요 그걸 물어보는 겁니다
본문에 안 적었는데 저는 교사가 아니라 그냥 수학계열에 종사하는 연구원이고요, 구체적으로 중학생 수준에서 수학적으로 최대한 말이되면서 위의 질문을 해결하는지에 대한 질문입니다
중3 교과서를 잘 읽어보면 (사실 요즘은 잘 모르겠지만) 실수를 무한소수로 정의함. 즉 a.a0a1a2… 꼴의 수 (더 정확히는 형식적인 나열)에 덧셈과 곱셈 구조를 준 걸 실수로 정의하는데, 이게 아주 완벽한 방법은 아니지만 어느정도 그럴듯하게 본문의 순환논리를 우회할 수 있게 해줌
물론 순환소수의 곱셈같은 걸 정확히 어떻게 정의해야 할지, 분배법칙이나 교환법칙같은 게 정말 성립할지에 대한 고민은 빠져 있지만
유한집합 부한집합 이야기는 데데켄트 무한까지 갈 것도 없고 1부터 n까지 자연수 모아놓은 집합 An애 대해 적당한 An과 bijection이 존재하면 유한으로 정의하면 그만이니 별 문제 안 될 것 같고 (그리고 이 정의가 가장 자연스럽겠지)
그런식으로 하는 접근이 있나 찾아봤는데 Spivak 미적분학에 그런접근법이 있는데 곱셈하고 분배법칙 정의에서 헬게이트가 열려서 엄청어려운 연습문제로 남겨놨네 일단 정의자체는 어느정도 말이되게 설득이 가능할거 같긴한데 괜히 학부때 코시수열등을 이용해서 Consturction하는게 아니라는 생각이 들긴하네 ㅋㅋㅋ
그것도 살짝 골때리는게 1번하고 연계되서 그럼 자연수가 뭔데? (유한하게) 셀수 있는게 뭔데? 라는 질문으로 최종귀결되서 그럼
그리고 맨 처음 링크의 주장은 동의하기 어려운데, 애초에 곡선의 길이라는 걸 꺾인 현들의 길이 합의 극한으로 정의하니 (고등학교에서 이런걸 가르치진 않으나) 원의 넓이를 고등학교 구분구적법으로 구하는 게 순환논리라고는 생각할 수 없음
자연수의 정확한 정의를 물어보면 첫 댓글에서 정의한 실수에서 소수부분이 모두 0인 양수로 정의하면 대충 빠져나갈 수 있겠지? 다만 이렇게 정의한 자연수에서 귀납법이 성립하는지 어케 알아요? 이런 걸 불어보면 결국은 페아노 공리로 가야 할테고
약간 학생이 어떤집합을 가져와서 ordinal 처럼 비스무리하게 계속 쭉 나열가능한데 셀수 있는거 아니냐? 근데 어디까지가 끝이 없는거고 끝이 있는거냐? 할수 있을거 같아서
무슨 의미인지 모르겠음 An과 bijection이 존재하는지 아닌지 여부는 직관과 무관하게 잘 정의된 엄밀한 개념인데 그런 질문이 나올 수가 있나?
근데 제대로 따져보니까 무한소수식 실수->자연수 만들때 이럴수 있음 저 소수점도 자연수개수 만큼 나열인데 자연수가 이미 거기에 들어가고 저걸 결국 유한소수 수열로 생각할때 기초적인 유리수는 만들어야되서 일단 자연수는 먼저 가져와야됨
어떤 무한집합이라도 첫 번째 원소, 두 번째 원소, …로 나열하면 대충 다 자연수랑 개수 같은 거 아닌가요? 하는 질문을 말하는거면 실수가 uncountable이라는 칸토어 증명을 보여주면 자기 직관이 틀렸음을 납득시킬 수 있겠지
bijection의 개념자체를 설명하는건 문제가 안됨. 문제는 저 n subscript마다 있는 n을 어디서 가져오냐? 라는 거지
아ㅋㅋ 그렇긴 하네 그럼 결국 자연수는 페아노 공리로 하나 고정하고 시작해야 할듯
실제로 페아노 공리를 만족하는 모델이 있는지 어떻게 아나요? 라고 물어보면 집합론 때 하듯 해줘야겠지만 이 정도로 들어가면 ZFC 이야기를 피할 수 없고 애초에 이쯤되면 대학수학 공부하는 게 더 빠를듯
어떤 학생이 저런걸 물어봄 저런 의문을 갖는단것부터가 불가능한데
내가 그랬고 이상하게 아는 친한 꼬꼬마가 물어보더라 ㅋㅋㅋㅋㅋ 그냥 특이한거라서 어쩔수 없나보다
진짜임? 구라치는거 아니고? 진짜면 넌 진짜 수학적으로 뭔가 감이 있는듯
그러니까 수학 학위땄지 물론 지금은 순수수학은 안함 수학유전자가 있긴있어
난 수학교육에 있어서 수학의 엄밀성을 과도하게 추구해선 안된다고 봄. 수학교육은 '교육' 을 목적으로 하는 것이지, 의구심을 가진 학생들의 질문을 훌륭하게 방어하는게 목적이 아닐테니까. 가령 자연수를 설명할 땐 "세어나가기" 과정에서 자연스럽게 등장해온 여러가지 표기법, 가령 아라비아숫자나 로마숫자, 한자의 숫자 등등을 소개하는 것으로 충분하다고 봄. 비록 표기법을 가르치는 것에 불과하겠지만, 그걸 학습하는 학생은 표기법 너머에 있는 '세어나가기' 를 인지할 능력이 있기 때문임.
어차피 자연수를 엄밀하게 정의하는 페아노 공리계도 '세어나가기' 를 메타적 언어로 적어둔 것에 불과하다고 생각함. 그에 더해서, '학생들이 이런걸 물어보면 어쩌지?' 라고 걱정하는 이유를 난 잘 모르겠는데, 소위 엄밀성을 요구하는 학생들에게는 이미 훌륭한 정답과 해설이 이 세상에 존재하고, 모든 수교과/수학과 학생들은 그걸 배웠잖아? 그럼 뭐가 문제임? 가령 실수는 왜 유리수랑 무리수로 이뤄져있나요? 유리수랑 무리수를 합친걸 실수라고 부르기로 했으니까. 유리수가 뭔데요? 십진법으로 나타냈을 때 유한소수 또는 순환하는 무한소수로 나타나는 수. 무리수가 뭔데요? 십진법으로 나타냈을 때 순환마디가 없는 수. 뭐가문제임 완비화를 굳이 들이대지 않아도 되잖음
그리고 너가 '실수' 를 교육과정에 소개하는것에 거부감이 있다면 그건 그거 나름대로 일리가 있는 주장이라고 생각함. 어차피 고등학생들이 다루는 수는 실수가 아니라 유리수에 특별한 몇가지 숫자를 추가한 것 뿐이잖아. 실수를 갖다주는건 어떤 방향에서 보더라도 과도한 오버킬인건 사실임. 그치만 실수집합의 대안적인 또다른 대수적 객체를 가져다주는건 학습자에게 혼란을 가중시킬 뿐이지 않겠음?
생산적으로 답 달아줘서 너무 고맙다. 니말대로 자연수정의는 다 따지고 나면 페아노공리(Induction)으로 조금 formal하게 만드는게 전부가 맞는데 (왜 있음? 하면 ZFC땜에, ZFC는 맞음? 하면 끝도 없지) 확실히 induction으로 연계시키는건 의미가 있다고 생각하고 적어도 이 과정에서 수학적으로 세는것에 대한 대상이 가져야할 특징(axiom)을 고민할 수 있다고 생각함 (induction과 가장 관련있는 well-ordering이라던가) (내 입장은 induction까지만, 페아노 공리는 언급도 안할거임)
그리고 뒤에 대한 너의 실수입장도 한번도 생각해보지 못했고 매우 일리가 있다고 생각하는데 들어보니까 실제로 유리수의 체연산에 제곱근이나 pi,e같은거 더 얹어서 계산하는게 전부니까 아예 그런식으로 보게하는 것도 말이 되긴 하네. 다만 내 입장은 본문에 암묵적으로 적혀있듯이 나도 실수가 뭔지 설명할때 완비성같은건 피하고 싶었고, 무한소수 전개도 극한개념 없이 순수 계산으로만 보면 괜찮은 대안이기도 하네
자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수 등등 이러한 대상들은 엄청 추상적인 개념임 자연수를 이야기 할 때에는 '단위'를 이야기 해야함. 단위가 뭐에요? 라고 물을 수도 있겠지만 대략적으로 인식의 한계 정도라고 할 수 있지 않을까 싶음. 팔이 몇 개에요? 라고 물을 때 10개 라고 하지 않고 2개라고 하고 손가락이 몇 개에요? 라고 물으면 10개 라고 하
겠지? 나도 중학교, 고등학교 교육에서 최대한 구성주의적 방향으로 교육하는 것에 찬성하는 편인데, 사과 1개 배가 1개 있는 상황에서 1+1=2라는 개념을 유도할 수 있을까? 사과1개에 배1개를 더해도 여전히 사과는 1개인데... 키가 1m인 초등학생이 10cm가 더 자라면 여기서 1+10=11이라고 할 수 있을까? 자연수는 같은 단위의 반복 정도로 가르쳐
도 좋을 것 같음. 그 나이의 학생들의 평균적으로 본다면 유한한, 자연수 정도는 그 정도로도 대충 인식할 테니까. 여기서 자연스럽게 구구단과 양의 유리수를 생각해 볼 수 있음 도량형이 통일되지 않는 상황에서는 '단위변환'이 자연스럽게 생각해 볼 수 있을 테니까. 자연수->정수-> 유리수의 개념은 단순히 짒합적 증가에 있지 않고, 이항 연산으로서의 덧셈과 곱
셈 관계 때문에 골때리는 거임. 곱셈과 나눗셈은 비율의 문제인데, 대부분의 초등학교에서는 곱셈을 자연수의 덧셈의 반복적인 현상으로 잘 못 가르치거든. 근데 또 단위적인 측면에서 보면 또 대충 맞는 말이기도 하고 정수가 수학사에 있어 양의 유리수 보다 늦게 들어온 것은 곱셈 나눗셈 때문임. 서양에서는 4원소, 동양에서는 음양으로 오래전부터 음수의 덧셈은
자연스러웠거든. 여기서 부터, 이항연산을 가르쳐야함. 기존의 수학교육방식도 그랬고, 요즘에는 여러 기기의 발전과 수학교육자들의 연구를 통해서, 자전거(자동차,놀이기구 등등 등속직선운동)을 촬영할 때, 동영상 시간을 되돌리는 느낌으로 음수의 곱셈을 설명하기도 함. 같은 단위에서 음의 정수의 곱셈을 설명하면
이 후 단위 변환을 거쳐 유리수의 사칙연산과 분배법칙 까지는 쉬울 거임. 이후에 실수를 배우려면, 2015개정 교육상에서는 (현행 교육과정) 피타고라스 정리를 중2에 조기 도입함. 그럼 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 등등 자연르럽게 아무리 작은 단위로 단위변환을 해도 두 수의 비율이 정수 비율로 나오지 않는 수가 존재함을 이야기 할 수
있느데, 그것들을 무리수 라고 다룸. 대표적으로 루트2가 있겠지 예전 교육과정에서는 루트2가 무리수임을 증명하는 것 역시 기약분수라고 가정하고 유리수라고 가정한 뒤 모순을 찾았지만(이건 현행교육과정에서 집합과 명제를 고1에서 배워서 패스) 최근 연구된 방법은 유리수는 정수와 정수가 아닌 유리
수로 나눌 수 있는데, 1보다 크고 2보다 작은 정수는 없으므로 루트2는 정수가 아니며, 정수가 이닌 유리수의 제곱은 역시 정수가 아닌데, 루트2제곱은 정수 이므로 루트2는 유리수가 이니다. 정도로 가르침. 이 후에는 이러한 통약불가능한 수들을 유리수의 극한으로 다룸. 아니 극한을 다룬다고? 라고 하면 또 할말이 없지만, 교육과정상 계산기, 컴퓨터 등
을 이용하여 대략적으로 수렴한다. 정도로만 알려주고 퉁침. 1.4의 제곱, 1.41의 제곱, 1.414의 제곱 등을 컴퓨터 계산기로 보여준다거나 하는거지.(교육과정에는 엑셀을 이용하라고 하던데, 이것도 잘 안하고 그냥 계산기로 몇 개만 보여주는 샘들도 많음) 정보화 사회에 걸맞춰서 학생들의 계산능력이 목표가 아닌 수업에서는 엄밀성을 약간 포기하고 계산기를
써라고 하더라. 아무튼 고대 농업 문명사회에서 도형의 길이, 넓이 같은 것들을 수치화하여 다루는 것에 필요성이 있었고, 거기서 양의 정수, 양의 유리수, 양의 무리수를 다루었고, 중세 상업사회에서 단위 변경, 이자계산 등등 복잡한 계산이 필요했고 방정식이 도입되면서, 빚의 계산에서 음수와 양수의 곱셈,나눗셈의 도입, 분배법칙을 보존때문에 음수와 음수의 곱
셈 등을 설명하기도 함. 학교 수학교육과정 중에서는 전문 수학자 양성 못지않게 실생활에 수학을 응용하여 사용할 줄 아는 공학자, 과학자 양성 등도 하고 있거든. 그런 측면에서 논리의 엄밀성 보다는 실생활의 예를 들어서(수학사적인 측면 포함) 필요성과 유용성을 강조하는 편임.
기억남는 수업중에 예를 들어 삼각형의 외심 같은 경우, 예전에는 변의 수직이등분선의 교점으로 논리적으로 수업했다면, 요즘에는 한국 지진 측정하는 3곳에서 같은 시간 측정 되었는데, 지진의 근원과 가장 가까운 곳은 어디일까? 같은 질문으로 수업하기도 했었던 것 같음