[일반] 드무아브르공식에서 지수법칙이 왜성립함?

[익명(14.50)]

드무아브르 공식증명할때 e^xi의 n승해서 e^nxi로 증명하는데 이 지수법칙이 성립하는 이유가뭐임? 실수에서 성립하는것까지는 아는데 이게 복소수 범위에서 그대로 적용되는 이유를모르겠음

[익명(124.53)]

복소지수를 어떻게 정의할지에 따라 증명이 바뀌어서 대답하기 살짝 난감한데 일단 너는 어떻게 정의하고 싶니

[익명(14.50)]

어떻게해야하지 일단 식전개만해서 e^xi 곱하기 e^yi 는 e^(x+y)i라는것까지는 보여도 위에 n제곱을 씌우는건 어떻게봐야할지모르겠음 실수처럼 지수의 덧셈 이성립하니까 지수의 곱셈도 성립할것같은데

[익명(223.38)]

ㄴ지수 합에 관한 지수법칙은 어떻게 증명했음?

[익명(124.53)]

네가 그걸 알고 있다면 y=x로 놓으면 n=2인 경우는 바로 나오겠지? 마찬가지로 n이 정수인 경우도 바로 체크할 수 있겠고

[익명(124.53)]

더 나아가서 n이 실수이거나 복소수이면 어떡하냐고 물어볼 수 있겠는데, 사실 일반적인 복소수의 복소수 제곱은 그리 잘 정의되진 않음 (반면 실수의 복소수 제곱은 명확하게 정의할 수 있음)

[dd(223.33)]

일단 n이 자연수일때는 급수전개고 뭐고 귀납법으로 삼각함수 합차로 금방증명가능하고 마지막 댓글은 반만맞는게 exp(z)=e^z는 우리가 아는 테일러 급수로 잘 정의되고 a^z=exp(ln(a)z)로 정의하는데 여기서 ln(a)를 복소수에서 정의할때 branching이 필요함 적어도 우리가아는 exp에서는 복소수 지수는 아무런 문제없고 밑수가 복소수일때 문제

[익명(147.47)]

n제곱하는건 n번 곱해주면 됨 삼각함수 공식 써가면서 귀납적으로 증명할 수 있고

[dd(223.33)]

https://math.stackexchange.com/questions/2402730/why-does-the-taylor-expansion-of-ex-satisfy-exponential-properties
참조
일반적으로 복소수에서는 역으로 이 테일러급수형태로 exp를 처읍부터 정의하고 첫번째 형태로 증명함
이렇게 정의된 급수가 왜 수렴하는지는 해석학