일단 정의는 아래와 같음.
n-dimensional F-vector space V의 symmetric bilinear form B가 주어져있을 때,
O(V) = {L in GL(V) | B(Lv, Lw) = B(v,w) for all v,w in V}로 정의함.
그럼 O(V) = GL(V)이려면 모든 L in GL(V)에 대해서 위의 bilinear form이 들어간 equation을 만족해야 함.
이걸 {v_1, v_2, ..., v_n}이라는 basis가 존재해서 B를 이 basis에서의 행렬로 전개하면
symmetric matrix J in M_n(F)로 표현됨.
그럼 B(v,w)=v^t * J * v (v도 저 basis로 표현해야 하는데 표기가 번잡해져서 생략) 으로 표현됨.
마찬가지로 B(Lv,Lw) = (v^t L^t) * J * (L v)로 표현됨 (L도 행렬을 나타냄)
그럼 이게 모든 invertible matrix L에 대해서 J = L^t * J * L가 성립해야 함.
이게 당연히 안될 거 같은데 어케 보여야할 지 모르겠음.
아주 간단한 예시: B=0, 즉 J=0이라면 어떨까?
B(v,w)≠0인 v,w에 대해 Lv=v, Lw=2w인 L을 잡으면 B(v,w)=2B(v,w)=0이라 불가능함
GL(F2) = O(F2)이긴 함.. F3도 되고.. F가 R or C면 불가능.
그거 증명 어디서 볼수있음?
음 미안 다시보니 non-degenerate조건이 없네. 그럼 위에 말대로 J=O가 될 수 있어서 안되고 기본 내적에 대해서는 det J (det L)^2 = det J라서 det L = +-1이 됨. 그래서 diag lambda, 1, ..., 1 생각하면 GL의 원소리면서 O의 원소가 아닌게 생김
일반적으론 degenerate라도 0이 아니면 기저를 조정해서 그 부분에 대해서 nondegenerate가 되게 할 수 있고 그걸로 똑같이 논증해주면 됨. 다만 J=O의 경우는 위에서 말해준대로 정의상 O = GL인 경우가 가능한거 같음 (비슷하게 det +-1 아닌 애들도 일부 포함은 할거고)
그럼 저거 O = GL되는 경우는 finite field 중에서도 2가지 경우밖에 없음? F_5같은건 안됨??
F5면 +-1 말고 다른 nonzero원소 a가 있으니까 det J 가 0이 아니면 diag(a, 1, ..., 1)같은게 반례가 되지