[대학교이상] Gaussian integer Z[i]에서 인수분해 및 최대공약수 구하기

[익명(106.101)]

Z[i]의 ideal I=<-8+14i, -16+2i>에 대하여 I=<a+bi>인 자연수 a,b를 구하라는 문제입니다.

솔루션을 보니

-8+14i=-i(1+i)^2(1+2i)(2+3i), -16+2i=i(1+i)^2(1-2i)(2+3i)와 같이 인수분해하여 gcd를 구하던데, 이렇게 인수분해하는 방법도 궁금하고, 일반적으로 gcd를 구할 때 꼭 이런 방법을 통해서 구해야 하는지도 궁금합니다.

- dc official App

[coffeemath(coffeemath)]

GCD 구할 때는 유클리드 호제법 비슷한 거 써서 구함. Norm map이 Euclidean function인 거 이용해서. 방금 전에 올린 Lang Ch.II 중에 Z[i]가 UFD인 거 보일 때 증명해두는 게 있었는데

[coffeemath(coffeemath)]

근데 내 글 어디갔냐? 뭐 여하튼 그럼

[익명(106.101)]

고맙습니다. gcd는 영어로 비슷한 내용 검색하니 나오네요. 그러면 저 인수분해하는 방법에 대해서도 아시나요? - dc App

[coffeemath(coffeemath)]

인수분해는 뭐... Gaussian prime 검색해 봐. unit이 iⁿ꼴이고 prime은 N(z)=4n+1인 prime이 되는 z와 p=4n+3임. 이거 증명하려면 두 제곱수 정리가 필요함.

[익명(147.47)]

Z[i]는 Euclidean domain인데, 모든 Euclidean domain은 unique factorization domain이어서 '소인수분해'가 가능함. ED라는 얘기는 곧 '유클리드 호제법'을 쓸 수 있다는 얘기.

[익명(106.101)]

고맙습니다. 구글 검색을 통해 해결했습니다. 그러면 저렇게 인수분해하는 방법에 대해서도 아시나요?? - dc App

[익명(106.101)]

아, 그리고 유클리드 호제법을 이용해서 gcd를 구해봤더니 6-4i가 나왔는데 4+6i와 associate라서 gcd가 4+6i라 할 수 있는건가요? - dc App

[익명(124.53)]

ㅇㅇ gcd는 원래 up to unit 결정됨

[익명(222.235)]

인수분해의 방법도 궁금해하는데 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2) 인수분해할 때 x±a, a는 6의 약수로 시도해보듯이 N(-8+14i)=260=2×2×5×13에서 norm 2인거는 어차피 하나고 (up to unit) 5인거 둘, 13인거 둘 나오는데 그럼 두번 시도해보면 5인거 결정되고 13인거는 따라나옴

[익명(106.101)]

아 norm을 이용해서 인수분해해야 하나보네요! 고맙습니다. 많이 배워갑니다. - dc App