[일반] 푸리에 변환을 힐베르트 공간에서의 내적이라고 할수있음?

[익명(211.234)]

힐베르트 공간에서 정규벡터 x와 a가 있을때 x와 a의 내적

<x,a>=exp(2piiax)고 x의 함수 f(x)는 <x,f>이며 f의 푸리에 변환은 completeness relation을 사용해서

f^(a)=<a,f>=int -inf to inf <a,x><x,f>

- dc official App

[익명(118.235)]

내적의 정의를 만족하면 내적이지 않을까요?

[익명(211.234)]

여기서 X|x>=x|x>, A|a>=a|a>를 만족하는 연산자들이 있을때 X,A는 서로 a,x에 대한 미분연산자가 됨 - dc App

[zmt(cub13)]

내적은 함수의 곱의 적분인 것 같고 푸리에 변환은 그렇게 정의된 내적을 보존하는 일종의 rotation이라고 하던데 (수학 외의 분야에서는 양자에서 이렇게 보는 관점이 중요)

[zmt(cub13)]

오소노말한 평면파 기저 |q> = exp(iqx)에 대해 내적 <p|q> = int exp(i(p-q)x)dx ~ δ(p - q) 아닌가 <x|f>는 f를 평면파 기저로 전개 했을 때의 |x> = exp(ikx)에 대한 성분(진폭)으로 int f(x)exp(ikx) dx 이렇게 생각하면 또 푸리에 변환 자체가 내적이나 사영의 의미인 것 같고 헷갈리네

[zmt(cub13)]

푸리에 변환이 내적을 보존한다는 게 퍼시발 씨어렘 수물에서 그런 식으로 배웠던듯 그래서 위치 공간이랑 운동량 공간 오갈 때 파동함수가 자동으로 규격화 된 상태일 수 있는 거고