[일반] [해석학] 불연속점 집합에 대해 질문이요

[호호호히히히(nise1005)]

임의의 함수에 대해 불연속점 집합은 F_delta 집합(닫힌 집합의 셀 수 있는 합집합)이라는 것을 알게 되었습니다.

근데, 이제 여기서 드는 질문이 F_delta 집합을 가지고 위 마지막 그림처럼 열린집합을 표현할 수 있는데요

그러면, 이런 식으로 해서 어떤 함수의 불연속점 집합을 열린 구간으로도 만들 수가 있는 건가요?

[수갤러 1(218.50)]

불연속 정의 생각해보셈. 불연속점이 열린집합이면 연속하는 점이 닫힌집합이어야 되는데, 경계에서 함수값이 잘 정의되겠음?

[호호호히히히(nise1005)]

근데, 연속의 정의에 의하면 고립점도 연속이라고 책에 써 있어서요;;; 그리고, 질문하고 나서 책 아래부분 읽어보니, 된다네요;;

[호호호히히히(nise1005)]

정확히는 임의의 F_delta 집합에 대해 그런 함수를 만들 수 있다고 하네요;;

[수갤러 2(124.53)]

원점에서만 연속이고 나머지에서 불연속인 함수도 있음 이런 경우는 불연속점이 열린집합이겠지

[호호호히히히(nise1005)]

아 수정된 디리클레 함수가 그렇네요

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[수갤러 3(14.51)]

해석학 첫걸음이야. 짤보고 깜짝 놀랐네 이렇게 공부하는 사람 첨봄 ㅋㅋㅋㅋ 대단;;

[Affine(algebra500)]

불연속점을 모은 집합이 열린구간인 함수가 존재하는지 궁금한거임?

[호호호히히히(nise1005)]

네

[Affine(algebra500)]

g(x)=1-x² 이라고 하고 f(x)를 다음과 같이 정의하자 x가 -1이하-> f=0 x가 1 이상 -> f=0 x가 -1초과 1미만이면서 유리수 -> f(x)=g(x) x가 -1초과 1미만이면서 무리수 -> f=0 이러면 f는 당연히 -1초과 1미만에서 불연속임. 그리고 -1과 1에서도 연속임. 왜냐하면 0≤f(x)≤g(x) 인데 g는 -1,1로갈때 극한이 0이거든. 극한이 -1,1로 갈때 모두 limf(x)=0 이고 f(1)=f(-1)=0 이니까 플마1에서 연속임 열린구간 (-1,1) 에서만 불연속이고

[Affine(algebra500)]

물론 0≤f(x)≤g(x)는 xㅌ[-1,1] 에서만 성립함. 플마1에서 연속인걸 보려면 그 밖에서 f극한을 봐야하는데 어차피 [-1,1] 바깥에서 f는 0이니까

[호호호히히히(nise1005)]

디리클레 함수가 참 유용하네요