대충 둘이 같은걸로 배운거같은데
검증해보니 이상한 모순이 발생해요....
예를들어 곡선 a(t) = (t^3 , t^2) 는 함수로 표현하면 f(x) = x^(2/3) 이고
a'(t) = (3t^2, 2t) 이고 f'(x) = 2/3 x^(-1/3)인데
이때 이 곡선의 원점에서의 속도(속력)을 측정해보면
t=0일때 a'(t)는 영벡터이므로 속도 0
x=0일때 무한대 또는 -무한대 로 발산
그 외에도
t=1 일때 a'(1) = (3,2) 이므로 속도는 루트 13
x=1일때 f'(1) = 2/3
이거 왜이런걸까요....? 둘이 비교해봤을때 벡터의 크기가 속력으로 더 적절해보이는데
그럼 제가 예전에 잘못배운거거나 기억을 잘못한건가요? 아니면 더 큰 의미가 있는걸까요...
a(t)=(x(t),y(t))를 t로 미분하면 a'(t)=(x'(t),y'(t)) 이고 이게 속도벡터가 됨. 계산한건 아마 속력(벡터의 크기) 계산한 거 같음. 그리고 f'(x)는 t로 미분한 게 아니라 x로 미분했으니 속도랑 다름. 같은 곡선이어도 어떻게 매개화하느냐에 따라 속도는 달라짐. 단위원을 (cost, sint), (cos2t, sin2t)로 매개화할 수 있는데 속도는 다름.
압도적으로 감사합니다!!
a'(t) = (dx/dt, dy/dt)이고, f'(x) = dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)인데, 벡터의 크기 |a'(t)|랑 f'(x)를 혼동하는 게 이해가 안 감. 그 둘이 항상 똑같이 나오는 게 아닌데?
자세히 설명하자면... 애초에 a(t)=(t^3,t^2)로 주어진 점의 운동을 관찰하려는데, 점의 경로가 f(x)=x^(2/3)이랑 같으니까 '미분적분학'에서 접선의 기울기 = 순간속도라고 배웠는데 미기에서 속도벡터의 크기가 속력이라고 배운거같아서 둘이 연관지어봤더니 값이 달라서 혼돈이 왔어요
아... 그 접선의 가울기와 순간속도를 똑같이 둘 수 있는 건 일차원 운동, 그러니까 시각 t에 따른 점의 좌표 x를 x = f(t)로 줄 수 있을 때의 얘기임. 이차원 운동에서는 속도가 벡터니까 그게 똑같이 적용되지 않음. 다만 속도 벡터의 방향으로부터 접선의 기울기를 구할 수 있고, 이게 매개변수 미분법으로 구한 거랑 양함수 표현을 미분한 거랑 똑같음.
근데 x 자체를 시간 처럼 다룬다고 치면 혼동이 오는게 그렇게 이상한 일은 아님. 보통 1변수만 다루는 중고등학교 수준에선 더 그렇고.
양함수 표현이란 건 점의 경로를 y = f(x)의 형태로 나타내었다는 얘기.
감사합니다 아직은 이해가 다안되지만 좀 더 공부하고 다시봐보겠습니다
왜 속도가 기울기인지 생각을 하고 판단해야지... 최소한 이과라면 '왜?'는 항상 달고 살아야하는거 아닌가 기울기=y/x=속도=s/t 이려면 y=s고 x=t여야지 근데 너는 y도 s로두고 x도 s로 뒀잖음 그럼 기울기 측정하면 속도가 아니라 이동한 방향이 나오지
더 쉽게 이야기하면, (t^3, t^2)이 그래프라는건 시간에 따른 간거리 그래프가 아니라 그냥 평면 위의 위치 그래프라는거 아니냐 어차피 (t^3, t^2) ← 이거 그린다고 시간이랑 아무 관련 없음 그냥 t라는 문자를 세워서 x좌표와 y좌표 사이의 관계를 표현한 식인거지