사실 증명보다는 점화식 자체가 어떻게 되는지 궁금한데, 무얼 검색하면 될까요?
https://omath.tistory.com/m/102
주기를 갖는 수열의 점화식주기를 갖는 수열의 귀납적 정의 $a_{n+2}-2(\cos \theta ) a_{n+1}+a_{n}=0$ 이고 $m \theta = 2\pi\; (0< \theta < \pi )$ 이면 수열 $\left\{a_n\right\}$은 $m$ 개의 항이 주기적으로 나타난다. [증명]은 고등학교 과정을 훨씬 뛰어넘기 때문에 생략하기로 한다. 활용에 중점을 두기로 한다. Example 1 수열 $\left\{a_n\right\}$은 $a_1 =9,$ $a_2 = 3$ 이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$$ 을 만족시킨다. $|\,a_k\,|=3$ 을 만족시키는 100이하의 자연수 $k$의 값을 구하시오.[2021년 6월 평가원] [풀이] $a_{n+2}-a_{n+1}+..omath.tistory.com이 블로그에 나오는거 approach에 검색해봐도 딱히 뭐 안나와서 여쭙습니다.
일단 점화식에 따라 일반항을 구하는 법을 알 필요가 있음. 시중에 파는 개념서에서도 몇 가지가 나왔는데, 분수꼴은 없었던 거 같음. 일본 본고사 아재들 영상이라도 보는 게 도움이 될 거임.
https://youtu.be/FNMnLJwWiso
일본어는
못 알아들어도 식을 어떻게 조작하는지, 왜 그러는지는 판서를 보면 이해가 될 거임.
그 다음 알아야 할 게 점화식의 특성 방정식인데, 선형 점화식이나 분수 점화식에서 등비수열의 점화식으로 바꾸려고 넣는 α에 대한 식이 특성 방정식임. 상수항이 1이라고 하면, 실근이냐 아니냐를 따져봐야 함. 실근인데 ±1이라면, 주기가 각각 1, 2인 수열이 됨.
그러면 주기가 3 이상인 건 뭐냐 할 건데, 그건 특성 방정식의 복소근이 복소평면 위의 한 점일 때 생길 수 있음. 복소수 z의 크기가 r이고 편각이 θ일 때, z = r cos(θ) + ri sin(θ)임. 그리고 드무아브르의 정리에 의해 zⁿ = r cos(nθ) + ri sin(nθ)가 성립함.
만약 nθ = 2π인 자연수 n이 존재한다면, 그런 자연수 중 가장 작은 수를 T라고 할 때, 그 수열의 주기는 T가 될 거임. 왜냐하면 수열의 일반항은 특성 방정식의 근의 거듭제곱이 포함된 식으로 나타낼 수 있기 때문.
아, 복소평면 위의 한 점이 아니고 복소평면 위 단위원 위의 한 점임. ㅈㅅ
근데 고3이면 수능 준비에 더 신경쓰는 게 나을 거 같음. 굳이 찾아봐도 명쾌한 자료는 없다는 건 이것이 크게 중요한 주제가 아닐 가능성이 있기 때문임.