[대학교이상] 해석학 질문 있습니다

[익명(220.117)]

정리 7.23을 증명할 때 부분수열의 부분수열들을 만드는 이유가 수렴하는 부분수열을 만들기 위해서인가요? 

만약 그렇다면 애초에 f_1,k에서 끝난 거 아닌가요? f_1,k에 x_1뿐만 아니라 1≤i≤n인 i에 대해 x_i 다 넣어도 f(x_i)로 수렴하는 거 아닌가요? 왜 굳이 힘들게 부분수열의 부분수열을 만드는 건가요?

[수갤러 1(124.53)]

f_1,k는 x1에 대해서만 수렴하고 나머지에서는 수렴하는지 안하는지 모르지

[익명(220.117)]

왜 나머지에서는 수렴하는지 안하는지를 확신할 수 없는지 설명해주실 수 있나요?

[수갤러 1(124.53)]

f_1,k를 애초에 어떻게 잡았는데

[익명(220.117)]

f_n(x1)이 유계라서 수렴하는 부분수열을 가지고, 그 수렴하는 부분수열을 f_1,k라고 명명한 것 아닌가요? 그렇다면 어차피 f_n이 모든 x에 대해 유계이므로 f_n(x2), f_n(x3) 등등에 대해서도 유계일테고 그러면 f_1,k에 x2, x3... 등을 넣은 것도 수렴하게 되는 게 아닌가요? 만약 아니라면 7.23 정리의 증명에서 f_n,k란 xn을 넣었을 때 수렴하게 만들어주는 부분수열인데다, f_n-1,k의 부분수열이기까지 하다는 것인가요?

[수갤러 1(124.53)]

뭔 소리를 하는거니 x1 기준으로 수렴하게 부분수열을 잡았는데 그게 마법처럼 x2 x3 기준으로도 자동으로 수렴한다는 보장을 뭐 어떻게 할건데

[수갤러 1(124.53)]

예를 들어 f_n이 f_n(x1)=0, f_n(x2)=(-1)^n으로 주어졌다고 하면 f_n(x1)은 수렴하지만 f_n(x2)는 수렴하지 않음. 그리고 너는 지금 전자가 수렴하니까 후자도 수렴해야 한다는 이상한 주장을 하고 있는거고

[수갤러 2(110.70)]

f_1(x1), f2(x1),…. 는 bound된 복소수 시퀀스임. 수렴하는 sub시퀀스를 만들어 낼 수 있음. 이게 f_1,1(x1), f_1,2(x1), f_1,3(x1)…임. 그럼 f_1,1(x2), f_1,2(x2), f_1,3(x2)… 는 또 복소수 시퀀스이고 수렴한다는 보장은 없음, 그러나 수렴하는 sub시퀀스를 만들 수 있고 그게

[수갤러 2(110.70)]

f_2,1(x2), f_2,2(x2)임. 그리고 이 시퀀스에서는 x2대신 x1을 넣어도 수렴함. 이런식으로 f1-1, f2-2, f3-3을 만들면 countable한 E의 모든 엘리멘트애 대해 수렴하는 함수 시퀀스가 만들어짐.