수2 교과서 보다가 흥미로운 챕터가 있길래 보는데
디리클레 함수는 임의의 유리수 사이에 무리수가 있고 임의의 무리수 사이에 유리수가 있다고 하면 쉽게 실수전체에서 불연속임을 알 것 같은데
토매함수 저건 왜 유리수에서만 불연속인지 모르겠음
뭔가 느낌적으로 (p,q) 순서쌍에서 발산하는 p가 있으면 치역이 0으로 수렴하고 임의의 발산하는 p와 서로소인 q가 무한히 많이 존재하니까 무리수 사이의 끊긴 점들을 이어주지 않을까? 하는 생각이 들긴 했는데
대학교 수학을 배워본적이 없어서 모르겠다
수학 고수 형들 도와주세요
- dc official App
엡델로 엄밀하게 증명을 해야되는거라 직관적으로 이해가 안될 수도 있음 - dc App
무한의 개념이 관여하는 순간 그런 직관적인 접근이랑 정반대인 것들이 너무 많아서 직관으로 연속성 판단하는건 의미가 없고 철저하게 엡실론 델타 논법에 근거해서 엄밀하게 가야됨 - dc App
엡델밖에 증명 방법이 없는건가? - dc App
이건 걍 증명 번외의 이야기인데 유리수에서만 연속인 함수는 있을수 없나? - dc App
저 함수 전제 자체가 무리수가 유리수보다 개수가 많다고 전제하는거 같아서 - dc App
실함수의 불연속점들의 집합은 closed set 들의 countable union이어야 해서 불가능함 - dc App
유리수에서 유리수로 가는 함수는 연속함수이고 고등학교 정의상 무리수에서는 불연속임 하지만 엄밀하게는 정의역 밖에 있는 무리수에서의 연속성을 논하지 않아서 애매함 - dc App
* 영함수 - dc App
ㄱㅅㄱㄱ - dc App
무리수에 가까워지는 유리수일수록 분모가 미친듯이 커져 ㅇㅅㅇ 그래서 1/q가 계속 0으로 가고 무리수에 0이 할당되어 있으니 0으로 무한히 가까히 갈 수 있어서 무리수에선 연속이 대 ㅇㅅㅇ 이 정도면 고등학교 수준에서 직관적으로 이해할 수 있을꺼야 ㅇㅅㅇ
유리수에서만 연속인 함수는 없는데 보통 증명이 Baire category thm 쓰는거랑 안쓰는거 두 개 있는데 찾아보셈 ㅇㅅㅇ 두 방법의 접근 방법이 정 반대야 ㅇㅅㅇ
ㄱㅅㄱㅅ 나는 어떻게 생각했냐면, 무리수에서만 연속인 함수가 있다는 말 자체가 무리수 입장에서 유리수는 비교도안되게 미미해서 유리수에서 불연속이여봤자 무리수에서 연속이 가능한줄 알았음 그래서 유리수에서만 연속인 함수는 없는거고 - dc App
그렇게 생각한게 맞아 ㅇㅅㅇ 그 생각을 조금 더 확장하면 메저가 0인 곳에서만 연속인 함수가 있는가로 이어져 ㅇㅅㅇ
얼마나 미미한지, 또는 메져는 별 상관없음. 실수 전체에서 정수들이야 얼마 되지도 않지만 정수에서만 불연속인 함수는 쉽게 생각할 수 있으니까. 이건 집합의 "모양"에도 영향을 받음
그 “모양” 이 뭔지 조금만 자세히 설명해줄수 있음?? 글쓴사람임 - dc App
일단 윗 댓글에서 "정수에서만 불연속인 함수"를 "정수에서만 연속인 함수"로 바꿔야 함. 내가 예시를 잘못 듦. 안타깝게도 "모양" 설명은 고교 수준에선 아무래도 좀 어려움. 유클리드 위상에 대한 이해를 필요로 하는지라
나는 정수에서만 연속인 함수는 상상이 안되는데.. 정의역이 실수인데 정수라는 한 점에서만 연속인 함수가 있을수 있음? - dc App
정확히는 한 점이 띄엄띄엄 한없이 많은 점들에서만 연속이라는 거지만. f(x)=sin(2πx)로 두고 g(x)=f(x) if x is rational, g(x)=0 otherwise 로 두면 g가 바로 정수에서만 연속인 함수지.
간단히 생각해보면. 연속이라함은 x=a에서의 함숫값 f(a)와 극한값 lim_{x->a} f(x)가 같아야 해. a가 유리수라면, 유리수 a에 다가가는 무리수열 x_n을 언제든 잡을 수 있지. 그러니 함숫값은 0이 아니지만 극한값은 (존재한다 하더라도) 0이 되어버려. 함숫값과 극한값이 같을 수가 없어. 심지어 극한값이 없을 가능성도 생기지.
a가 무리수면, 위 MetaFibinacci 말처럼 접근하면 되고.
엡실론 델타니 하는 것도 결국 연속일지 아닐지 먼저 예측해 볼 수 있어야 하는 거고, 그러기 위해선 감을 잡는, 혹은 이른바 직관적으로 생각해 볼 수 있어야지. 물론 답을 알고 있는 경우에라도, 엡실론 델타 이전에 왜 그게 자연스러운지 스스로 쉽게 설명할 수 있어야 해. 엡실론 델타는 자기 생각이 맞았음을 엄밀하게 확인하는 과정일 뿐.
요즘 교과서는 이런거도 써있구나 수준무엇?
그러게 칼큘러스급