Ax = 0 에서 A가 가역이 아니면
해가 2개 이상있음을 100% 보장함?
나는 맞다고 생각했거덩
일단 x=0인 해는 자명한 해이고
"가역이다 <=> Ax=0의 해는 유일하다" 이므로
위 명제의 동치는 "가역이 아니다 <=> Ax=0의 해는 유일하지 않다" 잖아
그렇다면 x=0말고 다른 해가 무조건 존재해야하므로, 해는 2개이상임을 100%보장하지?
또다른 풀이는
rank(A) < n 이므로, nullity는 0이 아니잖아, 따라서 해가 여러개 존재하지?
근데 chatgpt는 머냐
A가 정사각행렬이 아닐수도 있으니까
ㅇㅎ 방정식이 미지수보다 많으면 해가 없을 수도 있겠네 근데 내가 보는 선대책은 쉬운거라 A가 정사각형이라고 가정하네
동차인데 왜안됨? A의 rank가 전체 미지수보다 작으면 여러개 존재하는데
augmented matrix의 rank가 A의 rank랑 다를때 모순인거지
아 그러네 aug mat이랑 A랑 rank가 다를 때만 해가 없네 글고 어차피 Ax = 0은 동차이므로 aug mat이랑 A의 rank는 항상 같을거고
아 이걸 차원정리로 확대해서 m x n 크기의 행렬 A는 T: V -> W 의 선형변환이고 dim(V) = n, dim(W) = m이므로 차원정리를 이용하면 rank(T) + nullity(T) = n이고 rank(T) < n이면 해가 무수히 많을 수 밖에 없구나 근데 aug mat이랑 A랑 rank가 다를 때 해가 없는건 연립방정식 생각하면 당연한건데" 위에 처럼 깔끔하게 수학적으로 어떻게 증명하지?
Ax=0의 해가 유일하다는 건 A를 선형사상으로 볼 때 injective랑 같은 말임. 그러니까 A의 rank가 n이면 됨