일본인 수학자가 쓴 책을 읽어보던 중 함성함수 미분법 공식 증명을 발견했는데,
여기서 이렇게 적혀있음.
미분가능한 함수 g(x)에 대해서 k=g(x+h)-g(x)로 정의하면 h의 값에 따라서 k가 0이 되기도 합니다. 그러나 g의 미분가능성(연속성)에 따라 여하튼 h가 0에 가까워질 때 k도 0에 가까워집니다.
내 뇌로는 이해 안되는데 설명 좀 해주라..
여기서 이렇게 적혀있음.
미분가능한 함수 g(x)에 대해서 k=g(x+h)-g(x)로 정의하면 h의 값에 따라서 k가 0이 되기도 합니다. 그러나 g의 미분가능성(연속성)에 따라 여하튼 h가 0에 가까워질 때 k도 0에 가까워집니다.
내 뇌로는 이해 안되는데 설명 좀 해주라..
고등학생들 대상으로 쓴 책임
g가 미분가능이니까 x에서 연속이고 따라서 h가 0으로 갈 때 g(x+h)는 g(x)로 가고 g(x) - g(x)가 되므로 k는 0이 됨 - dc App
k가 0이 되는거랑 0에 수렴하는건 엄연히 다른거 아니야? 근데 저기선 0이 되지 않고 0에 수렴한다고 단정짓는 근거를 모르겠어
g는 모든 구간에서 연속이므로 상관없지 - dc App
멀리 갈것도 없이 g를 상수함수로만 봐도 h에 무관하게 k는 0임. 근데 0에 가까워지는건 분명 0이 아닌데?? 연속인거랑 뭔상관임;;
g를 상수함수로 보면 k는 상수함수로 0이므로 극한값도 0이잖아 - dc App
0에 가까워진다고 0은 아니지만 항상 0이면 0에 가까워진다고 말할 수 있음. 님이 말하는 가까워진다의 정의가 뭔지는 모르겠지만 극한을 말하는거라면... - dc App
내가 아직 고등수학밖에 안해서 그런데 고등 기준으로 수렴한다는게 분명히 0에 가까워지지만 0은 아니다 아님? 그래서 나눗셈도 되는거고. 상수함수인 경우에 k가 0이 되버려서 0으로 못 나눠
그건 lim x->0 f(x)일때 "x"가 0은 아니지만 0에 가까워진다고 하는거고 f(x)는 뭔값이든 상관없음. 원글에 나와있는걸로 ( lim h->0 k / h )를 얘기해보면 k가 항상 0이고 h는 0이 아니므로 극한값은 0임 - dc App
이해함 ㄱㅅ 답답했을텐데 천천히 설명해줘서 고맙다
지금 취미로 하는건지 일본입시 때문에 하는건지는 모르겠지만 시간 남으면 한번 Spivak 미적분학 읽고 풀어보는거 나쁘지 않다고 생각함. 1,2챕터만. 내가 1달동안 짬짬히 읽고 문제까지 다 풀었으니 시간은 별로 안잡아먹음. 일단 재밌고 고등학교 미적분에서 궁금한 부분들 다 완벽하게 풀어줌... - dc App
진짜 고맙다...
연속함수에다가 직접 해봐 ㅇㅇ 다항함수 같은거에
멀리 갈것도 없이 상수함수로만 봐도 h에 무관하게 k는 0임. 근데 0에 가까워지는건 분명 0이 아닌데??
exp((x^2 sin(1/x)) 같은 거 미분할 때 문제 생긴단 뜻임. 원래 극한의 정의가 x가 0이 아니면서 0에 한없이 가까이 갈 때인데, x^2 sin(1/x)은 x를 0에 아무리 가깝게 보내도 계속 0이 되는 점이 나오잖아? 그래서 평소에 하는 것처럼 dy/dx = dy/du du/dx 이런 식의 접근이 먹히지 않는 거임. 저기서 lim_x->0 dy/du = lim_u->0 dy/du가 성립하지 않으니까. 그래서 그 경우에 대한 증명을 따로 다루는 거.
엉 맞아. 책에서도 그래서 이렇게 따로 다뤘었어. 근데 내가 궁금한건 h가 0에 가까워진다고 k가 0에 가까워지는게 아니라 아예 0이 될수도 잇는데 이건 어떻게 하냐 이말임
수학책에서 왜 구지 이런것을 도입하지? 싶을 때가 있을거야. 과거의 수학자들도 비슷한 생각을 했고, 미분이 도입된 시기에서는 함수가 뭔지? 정확한 합의조차 없었어. 연속함수들만 다루고 있었고, 함수의 표기법도 표준화 정형화가 없었어. 그러던 중, 시간이 몇 십년, 몇 백년이 지나면서 다양한 반례들이 까꿍? 하고 나타났지. 수학자들은 맨붕했고, 이를
수습하기 위해서, 반례를 배제하거나, 몰아내거나, 반례를 포함하도록 기존 정의를 재조정 하거나 하는 작업을 했지. 미적분학에서 원 글의 표현이 나온 것은, 반례를 신경쓰지 않으면서, 최대한 더욱 다양한 상황에서 미적분을 사용하고 싶은 수학자들의 눈물이 모여 만든 표현이야. f:(-inf,3)U(3,inf)->R, f(x)=(x-3)^2 / (x-3) 같
은 함수의 경우 x=3에서 함수값이 정의가 안되지만, x=3에서 그 기울기는(함수의 변화율은) 여전히 1이라고 생각하는 것이 자연스럽겠지? 그러니까 g:R->R, g(x)=x-3 이라는 함수 처럼 생각할 수 있겠지? 그럼 f(x)의 x=3의 매우 근처는 정의역인데, 이를 어떻게 표현하면 좋을까? 같은 질문에 대한 답으로서
f(x+h)-f(x) 같은 표현이 (이는 치역의 변화량을 의미해) 나오게 된거야.