[대학교이상] 혹시 이거 증명가능함?

[익명(112.152)]

사진에 나오는 것처럼 coefficient 가 전부 field K 에 있는 연립방정식이 있으면 그 방정식의 해 (x_1, x_2, ... ,x_n)은 존재하지 않거나 만약 존재한다면 무조건 K^n에 속한다는거.

뭔가 당연한 소리 같긴 하면서도 증명이 잘 안돼서 물어봄. 참고로 이 책에서 field K 는 C나 아니면 C에 속해있는 field(R, Q등) 으로 한정됨

System of Linear Equation 의 정의

[카카오M(kakaothh)]

문제 세팅을 잘 해야될거 같은데, x들을 C^n 에서 보는거죠? - dc App

[익명(112.152)]

사실 그게 문제에요. x가 어디 속해있어야 하는지에 대한 언급이 없어요.

[익명(112.152)]

system of linear equation 의 정의도 올렸어요

[애비넴(chikichikichiki)]

서지랭꺼냐?? 익숙하네 아무튼 저 방정식 <linear combination>=0 으로 간추려서 보게되면 두가지 경우가 생기지 1. 벡터들이 linear independent = 해가 존재하지 않음 2. 벡터들이 linear dependent, 즉 서로가 서로의 linear combination임

[수갤러 1(203.142)]

ㅇㅇ서지랭꺼 맞음. 2번의 경우에 linear dependent 하면 당연히 가능한 해 (x_1,x_2,...x_n) 중 적어도 하나는 K^n 에 속해있는게 맞는데 혹시라도 K^n 말고 다른곳에 속한 해가 있을수도 있지 않을까가 질문인거임.당연히 아닐거라는게 직감적으로 감이 오긴 하는데 수학적인 언어로 서술을 못하겠음

[애비넴(chikichikichiki)]

그러네 지금 뭔가 벙어리된 느낌임

[수갤러 2(58.141)]

그 경우는 관심대상이 아니라 신경안써도 됨. K^n에 해가 있거나 K^n에 해가 없거나 이 두개만 신경쓰면 됨.

[수갤러 2(58.141)]

해가 될수 있는 대상을 확장한다면 합과 스칼라배가 정의된 집합에서 해당 연립방정식의 해를 생각할수 있겠지

[수갤러 1(203.142)]

굳이 예시 하나 생각해내자면 실수체 위의 식 x_1+x_2=0 에서 (i,-i) 같은거도 해가 되기는 하는데 관심대상은 아니라는거임?

[수갤러 1(203.142)]

만약 x_1+x_2=0이 복소수체 위에 있다 하면 (2i,-2i) 같은거도 관심대상 되는거고?

[카카오M(kakaothh)]

선형대수에서는 연립방정식의 변수들이 무조건 K^n의 원소라고 생각해야되요, finite dimentional K-vector space는 K^n이랑 isomorphic하다라는게 핵심이기 때문에,,

[수갤러 3(118.235)]

행렬의 RREF꼴을 생각하면 Ax=b의 해는 Ax=b의 한 해에 F^n의 원소들의(v1,...,v_m이라하자) linear combination들을 더한 것인데 F를 field K로 확장하면 Ax=b의 K^n에서 해는 정확히 Ax=b에 한 해에 v1,...,v_m들의 K linear combination들을 더한것인듯.

[수갤러 4(175.208)]

K보다 더 큰 것의 존재성도 이야기하지 않고 있는데, 더 큰거에 해가 있는지를 생각하는 건 아무 의미 없는 질문임. K보다 더 큰게 왜 있어야 하는데?

[수갤러 3(118.235)]

예를 들어 x1+x2+x3=0는 RREF이고 R에서는 해가 정확히 (-1,1,0),(-1,0,1)의 R linear combination이지만 C에서는 C linear combination이다 요렇게. 직접 실수와 복소수를 넣어서 확인해보세요.