내가 궁금해 하는 문제는 다음과 같음.
다음과 같은 선형 연립부등식이 있음.
여기서 a,b 는 모두 상수, x는 모두 변수임. 그리고 a,b,x 모두 실수임.
(식1)
그리고 몇몇 문서에서 위 연립부등식(식1)을 다음과 같이
행렬에 대한 식으로 나타내는 것을 봄.
(식2)
식2 를 Ax ≥ b 라고 하자.
A 가 가역 행렬이라면, 식 2의 양변에 A의 역행렬을 곱해도 부등호의 방향이 유지되는지 알 수 있는 알고리즘이 있을까?
질문을 좀 더 자세히 쓰면,
질문1) (Ax ≥ b) → (x ≥ A-1b) 가 성립하는지 알 수 있는 알고리즘이 있을까?
질문2) (Ax ≥ b) → (x ≤ A-1b) 가 성립하는지 알 수 있는 알고리즘이 있을까?
질문3) 각 Row 별로, x와 A-1b 의 부등호 방향이 어떠한지 알 수 있는 알고리즘이 있을까?
그리고 여기선 A가 2 x 2 행렬이지만,
일반화해서 n ≥ 2 인 임의의 자연수 n 에 대해, n x n 행렬 A에 대해 질문 1) 2) 3)에 대한 답이 있을까?
웬만한 경우는 다 안 됨
역행렬을 곱하는 행위는 elementary row operation을 이용해서 단위행렬을 만드는건데, 한 행에 음수를 곱하면 해당 행의 부등호 방향이 바뀌게 되요. 그리고 가장 중요한 “한 행의 상수배를 다른 행에 더하”는 행위도 (상수곱 후) 부등호가 다른 행은 더할 수 없기 때문에 안된다고 봐야함 - dc App
결국 '알 수 없음' 이구나. 알려줘서 고먀워.
y >= x y >= -x 의 해를 x, y 각각에 대한 부등식으로 표현할 수 없음. 미지수가 두 개인 부등식에서 해가 예쁘게(각각 문자에 대해) 나오려면, 그래프를 그려봤을 때 두 직선 모두 축과 평행해야만 하는 걸 알 수 있음.
그러니까, 음. A가 대각행렬이면 됨.
A가 대각행렬이라는 건, 식 하나에 변수 하나인 연립부등식이라는 뜻이지? 이런 한정적인 경우만 되는구나...
게다가 서로 다른 식은, 서로 다른 변수를 가져야 하고.