일본인 수학자가 고등학생을 대상으로 쓴 책에서 합성함수 미분 파트에서 증명이 두개가 나왔어.
1번 증명은 y=f(u),u=g(x)로 잡고 {f(u+k)-f(u)}/k=... 꼴로 정리해서 x의 증분에 대한 u의 증분이 0일때도 상관없이 증명하는거.
2번 증명은 사진에 나온것처럼 dy/dx=lim(delta(x)->0)일때delta(y)/delta(x)임을 이용해서 증명하는거였음.(단 이때는 x의 증분에 대한 u의 증분이 0이 아니여야 했음)
여기서 질문이 3가지 있는데,
1. 1번과 2번에서 증명한 합성함수의 미분법이 결국엔 chain rule의 증명과 같은거지? f'(g(x))g'(x)=dx/du • du/dx 니깐??
2. 2번 증명 사진에서 1번째 줄에서 2번째 줄로 넘어갈때 lim쪼갤 수 있는 이유가 뭐임?? 나는 고등수학 수준으로만 공부해서 lim 쪼개는건 수렴할때만 가능하다고 배웠는데...
3. 이게 가장 궁금한건데 2번 증명 사진에서 2번째 줄에서 3번째 줄로 넘어갈때 delta(x)->0인거랑 delta(u)->0인게 이해가 안됨. 물론 당연히 정의에 따라서 delta(x)->0이면 delta(u)->0이겠지만 그걸 바꿔서 써도 됨???
예를 들어서 y=f(u), u=g(x)=x^2라고 잡으면
delta(u)=lim(delta(x)->0)일때 g(x+delta(x))-g(x)= lim(delta(x)->0) 2x • delta(x)+delta(x)^2 이 되는거잖아.
그런데 도대체 어떻게 그냥 lim(delta(x)->0)에서 lim(delta(u)->0)으로 바뀔 수 있는거임?? 내가 수2랑 미적하면서 알게 된건 무한소에도 우위가 있다?? ( lim(n->0) n^2/n = 0인것처럼)
암튼 그런거였는데 어떻게 걍 문자를 바꿔도 되는거임? 위의 예시처럼 delta(u)는 실제로 delta(x)->0인 상황에서 x에 관한 n차식으로 나올지도 모르는데 delta(u)->0으로 바꿔버리면 분모는 걍 u로 고정되어 버리는거 아님???
긴 글 읽어줘서 고맙다
2. 애초에 수렴해야 합성함수 미분법을 쓸 수 있는 거임. 3. 역시 수렴한다는 가정을 한 거니까 가능함.
1번은 내말 맞지?
그리고 3번은 delta(x)->0 으로 가면 delta(u)->0으로 가고 미분가능(수렴)하니깐 분모가 0으로 가기만 하면 같을 수밖에 없다는 말이지??
대학교 1학년에서 배우는 미분적분학 자체가 그 유용성을 바탕으로 숙달하는데에 있음. 비유하자면, 숙련된 운전기사를 양성하는 것이 목표 중 하나임. 그런데, 님은 운전을 배울 때, 실기 보다 자동차 기어의 힘의 전달 원리 같은 것을 질문하고 있는 거임. 당연히 그것들은 잘 작동된다고 가정하고 사용하는 거지, 지금당장 지하철, 버스 운전해야 하는데,
지금부터 점검한 후, 이상 없으면 출발하겠습니다 라고 한다면, 기다리는 사람들이 좀 빡치겠지?
1. 맞음 2. 수렴함을 가정하는거임. 애초에 합성함수 자체가, 치역이 정의역에 포함되어야 하는데, 당연히 그렇다고 가정하고 하는거임. 초등학교에서 음수를 다루지 않고, 고등학교에서 무연근 처리하는 거랑 비슷한 이유임. 3. 문제가 생길 수도 있는데, 당연히 극한값을 비교해서 문제가 안생긴다고 가정하고 쓰는거임