[대학교이상] 5차방정식은 왜 근의공식이 없나요

[고1ㅈ밥놈(14.50)]

지금 5차방정식에 관심이 생겨서 수학 보고서 쓰려고 하는데 인터넷에 있는 설명이나 논문을 봤는데 전혀 이해가 안가요 왜 근의공식이 없는건가요? 제 상식으로는 몇 차든지 다 근의공식이 가능할 줄 알았거든요. 그리고 6,7차들도 근의공식이 없나요?

[수갤러 1(223.62)]

추상화했을때 나오는 본질적 이유로 5가 홀수이면서 소수인 첫번째 숫자때문이라서 - dc App

[수갤러 2(58.122)]

3은 뭐노

[고1ㅈ밥놈(14.50)]

추상화에 대해서 조사해보겠습니다.

[수갤러 7(125.138)]

븅딱이니까 무시 ㄱ

[수갤러 3(124.53)]

대학교 대수학 책을 끝까지 읽으면 알 수 있게됨

[수갤러 4(175.208)]

근의 공식이 있느냐는 거듭제곱근만으로 해를 표현하는 공식이 있느냐는 질문이었다. 그런데 해를 거듭제곱근만으로 표현할 수 있으려면 해들 사이에 재미난 관계가 있어야 해. 예를 들어 두 해가 a=2+root(3), b=2-root(3)이면, a+b=4라는 관계식이 나오듯이.

[수갤러 4(175.208)]

해들 사이의 관계, 혹은 거창하게 해들 사이의 대칭성을 이른바 group이란 것으로 표현한다면, 거듭제곱근만으로 해를 표현할 수 있는 다항식 방정식의 해들이 이루는 대칭성은 매우 특별한 성질을 만족해야 함이 알려져 있어.

[수갤러 4(175.208)]

아까 해들 사이의 대칭성이란 것을 group이란 것으로 나타낸댔지? 해들이 모두 거듭제곱근만으로 표현되면 저 group이 이른바.solvable란 성질을 만족해야 해. 4차 이하의 모든 방정식은 대칭성이 solvable함이 알려져 있어. 하지만 5차 이상의 방정식 중에는 대칭성이 solvable하지 않은 예들이 항상 있다.

[수갤러 4(175.208)]

즉, 방정식 중에 해들을 거듭제곱근만으로 표현할 슈 없는 경우가 있단거지. 다시 말해 해를 표현하려면 거듭제곱근말고, 예를 들어 지수함수 같은 게 꼭 필요한 경우들이 있단거야.

[고1ㅈ밥놈(14.50)]

상당히 쉽지 않네요....

[수갤러 4(175.208)]

그러니 5차 이상 방정식에는 근의 공식이란 게 없을 수 밖에. 근의 공식은 거듭제곱근만 사용해서 모든 방정식의 모든 해를 단 한 번에 써내려가려고 만들려 하는 공식이니까. 따라서 거듭제곱근만으로는 해를 표현할 수 없는 방정식이 있으니, 저러한 근의 공식은 없을 수 밖에.

[익명(119.67)]

대충 수박겉핥기식으로 설명할 수는 있는데 제대로 이해하려면 두꺼운 대수학책 한 권 통째로 읽어야 됨

[수갤러 5(121.169)]

반대로 생각해보면 사칙연산이랑 거듭제곱근만 이용해서 해의 근을 표현할 수 있다는 발상이 더 웃길 수도 있음. x^2=3이라는 방정식을 푸는데 루트 기호하나 도입해서 루트3이 방정식의 근이다! 라고 주장하는게 더 억지스러워 보일 수 있는거임 - dc App

[수갤러 5(121.169)]

방정식의 근의 공식이 존재한다는건 방정식의 해를 사칙연산과 제곱근 씌우기를 유한번 반복해서 표현할 수 있다는건데 여기에 대응되는 갈루아군이 너무 특수한 경우(solvable)이라 일반적으로 5차이상까지 계속 이런 짓이 가능할 이유가 전혀 없음. "사칙연산과 제곱근씌우기를 유한번만 가능"이라는 조건이 애당초 너무 작위적이고 특수한거임 - dc App

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

가벼운 수준으로 설명해주는 책들이 있기는 함

[수갤러 6(175.215)]

5차 이상의 방정식 중 일부 방정식은 계수들을 이용한 근의 공식이 있지만, 일반적으로 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 없음. 대학교 수학과 3학년 전공인 대수학을 들어야 하는데, (대학교 대수의 목표가 5차 이상의 방정식의 근의 공식없음 증명임)

[수갤러 6(175.215)]

직접 증명은 어렵고 동치명제를 이용한 증명을 함. 애초의 group 이라는 개념이 근의 공식을 연구하면서 발전한 학문임. 그리고 group을 도입하면서 근의 공식을 찾는 것이 아니라, 5차 이상의 방정식에는 일반적인 근의 공식이 없음을 증명함.

[수갤러 6(175.215)]

그나마 엄청 간단히 '한국어로' 설명한 것이 유튜브에서 'mathlab수학력발전소' 채널에서 관련영상이 3개 있음. 유튜브에서 '수학력발전소 근의공식' 이라고 검색해봐. 댓글로 쓰기에는 너무 내용이 길다

[고1ㅈ밥놈(14.50)]

감사합니다ㅎㅎ

[익명(175.124)]

자네 필드익스텐션은 아능가

[Affine(algebra500)]

5차방정식을 항상 못푼다는게 아니고, 모든 5차방정식을 일관적으로 풀어주는 마스터키는 없다는거임.