[일반] 추상대수의 커널과 선형대수의 커널은 다름?

[익명(219.255)]

둘 다 커널이라고 부르니까 어떻게 하면 

추상대수의 표현 + 특별한 조건 = 선형대수의 커널이 되겠지 싶지만

둘이 비교해보면 어떻게 같아지는지 감도 안오는데?

kernel(추상대수) := {g ∈ G : ∀s ∈ S, gs = s} ; G는 군, S는 집합

kernel(선형대수) := {v ∈ V : T(v) = 0} ; V는 벡터공간, T는 선형연산자

오히려 추상대수의 kernel은 선형대수의 항등변환과 관련된거 아님?

[Rafle(probaroque)]

추상대수 커널이 정말 저래?

[익명(219.255)]

그말할줄알았음 검색해봤더니 또 다르던데... dummit 51쪽 'kernel of the action of G on S'의 정의가 저거였음

[Rafle(probaroque)]

일반적인 개념을 먼저 알고 다른걸 봐야지. 선형대수에서 선형변환의 커널, 추상대수에서의 호모모피즘의 커널을 비교해야 이해가 더 쉬울거야. 그룹 액션이 뭔지 모르는데 저게 이해가 갈 거 같진 않네

[익명(219.255)]

고맙슴... 말한대로 선형변환의 일반화가 준동형사상이면 그룹액션은 왜 먼저 소개되는거임? 작가맘이면 할말없지만 2장부터 centralizer, center, normalizer를 소개하고 그게 stabilizer와 kernel의 일종이라고 할 이유가 있을텐데

[익명(219.255)]

생각해보니 선대 배울때도 2장까진 굳이 이유 따져가며 보진 않았네 일단 그냥봄

[카카오M(kakaothh)]

group action은 G에서 Aut(S)={bijection on S}로 가는 group homomorphism이고 이 map의 kernel이 더밋에 나온 커널이에요. 결국에 전부 같은말 - dc App

[카카오M(kakaothh)]

그룹을 배울 때 action이 먼저 소개되는 이유는 그게 group의 발달과정(?)이자 본질이기 때문. - dc App

[익명(219.255)]

맞네... g ∈ G, a ∈ A, φ(g)(a) = i_S_A(a) ↔ ga = a네

[익명(219.255)]

더밋좌는 처음부터 말해주고 있었네...

[카카오M(kakaothh)]

참고로 집합론에서도 kernel이라는 말이 나오는데 이건 f:X->Y 가주어졌을때 f의 함수값이 만들어내는 X위의 equivalence relation으로 정의됨. 이거도 대수에서는 사실상 같은말이라고 할 수 있는데, f가 homomorphism일때 (집합론적) kenel은 (대수적) kernel의 coset들이 되기 때문

[익명(219.255)]

g1, g2 ∈ G, g1 ~ g2 : f(g1) = f(g2) ↔ f(g1*k) = f(g2 * k) for all k ∈ Ker(f) ↔ g1Ker(f) = g2Ker(f) 이니까 동치, kernel의 coset들이라는게 이말임? 그리고 kernel의 h = gf라고 하고 group homomorphism f의 kernel의 coset은 그럼 group action의 kernel이 되는거임?

[익명(219.255)]

보니까 집합론에서의 kernel이 또 있던데 Ker(B) := collection B의 모든 원소의 교집합이라고, 이거 더밋에서 K라는 부분군을 정의할때 썼던건데