[일반] 유계 폐구간과 R의 일대일대응이 존재할까요?

[익명(211.186)]

f(x)를 tanx라고 잡으면 (-pi/2 , pi/2) 와 R 사이의 일대일 대응은 존재함을 알 수 있는데, 즉 유계 개구간과 R 의 일대일대응은 존재하는데

그러면 유계 폐구간과 R 사이의 일대일대응은 존재할까요?

최대 최소 정리에 의하면 함수가 연속이면 최대, 최소값을 가지므로 안될거 같고...

그러면 R과 일대일대응이 가능한 연속이 아닌 폐구간에서 정의되는 함수...? 이런게 존재하나요? 상상이 잘 안가네요

[익명(121.66)]

둘의 기수가 같아서 존재함

[익명(211.186)]

둘의 기수가 왜 같을까요 ㄷㄷ

[익명(121.66)]

(a,b)⊂[a,b]⊂R 이니까 |(a,b)|≤|[a,b]|≤|R| 인데 본문처럼 (a,b)과 R사이에 bijection을 쉽게 잡을 수 있으니까 |(a,b)|=|[a,b]|=|R|

[익명(211.186)]

와... 감사합니다ㅋㅋㅋ

[수갤러 1(143.248)]

연속함수 중에는 없고 연속이 아닌 것 중에서는 있고

[익명(211.186)]

[익명(147.46)]

바로가려면 피곤하니까 (0,1) 과 [0,1]의 일대일 대응을 먼저 만들고 적절히 조정된 tan랑 합성하는걸로

[익명(211.186)]

혹시 (0,1)과 [0,1]의 일대일 대응 함수가 뭐가 있을지 알려주실수있나요...ㅎㅎ

[다믜(damhiya)]

위에 얘기한 것처럼 cardinality가 같은건 쉽게 알 수 있는데, 구체적으로 bijection 잡는건 좀 테크니컬함

[다믜(damhiya)]

(0,1) 과 [0,1] 사이의 bijection은 (0,1) 안에 존재하는 어떤 수열을 생각하고, 두칸씩 밀어서 남는 자리에 0, 1을 넣으면 됨

[다믜(damhiya)]

예를 들어 a_n = 1/(n+1) 이면 f : (0,1) -> [0,1]을 f(a_1) = 0, f(a_2) = 1, f(a_n) = a_{n+2} for n >= 3, f(x) = x otherwise 로 정의하면 bijective 함

[다믜(damhiya)]

아 실수. f(a_{n+2}) = a_n for n>=1 임

[익명(211.186)]

오우 감사합니다

[수갤러 2(14.43)]

수열로 구간 안에 있는 모든 실수를 표현할 수 없기 때문에 그렇게 하면 안되지 않나요? Mathstackexchange에서 함수를 잘 잡아서 일대일대응시키는건 봤는데 수열로 하는건 못 봤네요

[다믜(damhiya)]

함수를 정의한거임. 수열에 없는 값은 그대로 매핑하면 됨