Q1. S_n이 어떤 집합인지 모르겠습니다.
아마도 S_n의 원소는 n번째 이후의 항이 모두 0인 수열 같습니다. 그걸 모아놓은 집합이 S_n같습니다....
Q2. S가 어떤 집합인지 모르겠습니다....
Q3. 집합 S_n이 어째서 유한한 집합인지 모르겠습니다.
n번째 이후의 항이 모두 0인 sequences를 모아놓은 것이고 당연히 집합 S_n은 유한한 집합이 될거라 하셨는데 모르겠습니다ㅠㅠㅜ
Q4.집합 S_n을 countable union해준다는 게 무슨 뜻인지 모르겠습니다. S_n의 원소를 원소로 하는 합집합을 만든다는 뜻일까요?
제발 부탁드립니다ㅠㅠ
S는 무슨집합인가요 문제에는 A,B밖에 없는데 아무말도 없이 S가 어디서나옴
그냥 uncountable에서 countable 만큼 차집합해도 uncountable 이라는거만 증명하면 되는거임?
uncountable에서countable만큼 차집합해도 uncountable이라고 하셨어요. 전체 0과 1로만 구성되어있는 sequence를 다 모아놓은 집합 S는 uncountable이고, 여기서 방금 생각한 집합(S_n의 union)을 빼게 되면, 이집합이 countable set이 되기 때문에 전체적으로는 uncountable set이 된다고 하시네요. 집합에 속하는 sequence (a_k)를 가져와서, 아까 이진법 표현을 이용해서 이와 같은 series로 만들어지는 실수 x를 생각하면, x는 0과 1 사이에 있는 실수이고, sequence(a_k)와 실수 x 사이에는 1-1(one to one)관계가 생긴다고 하셔요. (출처 K-mooc, 강좌명 /알고보면 쉬운 미적분 이론)
즉 좌변의 집합보다 0과 1 사이 구간의 집합이 더 커진다, 사실 이것은 1-1 onto 관계인데, 따라서 좌변과 우변 집합의 개수는 같고, 좌변 집합이 uncountable이기 때문에 0과 1 closed interval에 있는 실수의 개수는 uncountable이 된다고 하셨습니다. 이런 식으로 전체 실수집합이 당연히 uncountable이 된다고 강의하셨어요(출처 K-mooc, 강좌명 /알고보면 쉬운 미적분 이론)
'전체 0과 1로만 구성되어 있는 sequence를 다 모아놓은 집합 S'라 하시니 S는 전체 0과 1로만 구성되어 있는 sequence를 다 모아놓은 집합인거 같습니다....
저는 여기에서 본문 사진중 가장 마지막 사진에 적힌 내용이 이해가 안 갑니다. 집합 S_n이 어떤 집합인지 이해가 안 가고, 그 집합이 왜 유한한지 이해가 안 갑니다.
또, 가장 이해가 안 가는 것은 n번째 이후의 항이 모두 0인 sequence는 유한개라는 것입니다ㅜㅜㅜㅜㅜ
S_n은 n번째 이후의 항이 모두 0인 sequences를 모아놓은 것이라는데, 그렇다면 n번째 이후의 항이 모두 0인 sequence는 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0... 하나뿐이기에 set S_n이 유한한 set이 되는가요? 그건 또 아닌거 같아서요....
ㅇㅋ 이해함 일단 Sn이라는 집합은 n번째 부터 전부 0인 수열임. 가령 S1에는 0,0,0,0,0,...... 이 수열 하나밖에 없고, S2에는 0,0,0,0,..... 이랑 1,0,0,0,0.... 이 두 원소뿐임
S3에는 0,0,0,0,..... 1,0,0,0,...., 1,1,0,0,0,...., 0,1,0,0,0... 이렇게 4개의 원소만 있음. 세번째부터는 전부 0으로 고정이니까 첫번째, 두번째 항에만 선택권이 존재하는거임 0을 넣을지 1을넣을지 2가지 경우의수가
그럼 일반적으로 Sn의 원소개수는 2^(n-1) 개가 되겠지. 왜냐하면 Sn의 원소인 수열 ak 가 있다치면 이 수열의 n번째항 이후로 an,a(n+1),a(n+2),.... 는 전부 0일거잖음? 그러니까 a1,a2,....,a(n-1) 의 첫 n-1 개 항만 선택권이 있지 0을 넣을지 1을넣을지. 2를 n-1번 곱하니까 2^(n-1) 가짓수가 나옴.
그러니까 쉽게말해 Sn 의 원소는 길이 n-1짜리 유한수열로 결정되는거임. 그 뒤로는 그냥 0만 쭉 붙여쥬면 되는거고
여기까지 이해가면 ㅇㅋ를외쳐
네 ㅇㅋ 여기까지 이해했씁니다!!!!!
그럼이제 U(Sn) 이 뭔지 이해해야됨. 수열 a_k가 U(Sn) 의 원소라는건 S1,S2,S3,......,Sn,..... 중 어딘가에는 a_k가 들어가야한다는 소리임. 즉, a_k가 '사실상 유한수열' 이고 나머지 꼬리부분은 0으로 이뤄진 수열이란 얘기임
예를들어 S의 원소중 하나인 1,1,1,1,1,1,1,1,..... 이 수열은 U(Sn) 의 원소일 수 없음. 왜냐하면 얜 '꼬리부분이 0인' 수열이 아니니까
마찬가지로 S의 원소인 0,1,0,1,0,1,... 이렇게 01 이 반복되는 수열도 안되고 0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1 이렇게 0이 하나씩 늘어나는 수열도 U(Sn) 의 원소가 아님
우와...옙...
이러면 U(S_n) countable 인게 이해가 감?
U(Sn) 이라는건 그냥 Sn들을 합집합한다는 소리임 S_1 U S_2 U S_3 U S_4 U ....... U S_n U ......
Sn 각각이 유한집합인데 그 Sn의 countable 한 모임을 합집합했으니 그 합집합한 집합의 원소는 countable 이겠지. 이거 잘 이해가 안가면 너가 생각하는 countable 의 정의를 말해봐 그럼 그거에 맞춰서 설명해줌
우와 U(S_n)은 셀 수 있네요!!!! Sn은 유한집합이구요
1:1로 셀 수 있는 집합이 countable이라고 알고 있씁니다!!!!
오케이 그럼 혹시 S\U(Sn) 이 여전히 uncountable 인것도 보임?
그건 잘 모르겠습니다ㅜㅜㅜ
그럼 A,B가 countable 일 때 AUB가 countable 인건 이해가감?
네 A,B가 countable 일 때 AUB가 countable 인건 이해가 갑니다 A도 1:!로 셀 수 있고 B도 1:!로 셀 수 있으니 자연스럽게 AUB도 1:1로 셀 수 있씁니다
오케이 그리고 너의 질문에서 S가 uncountable 이고 U(Sn) 이 countable 인거까지도 이해가 간 상황이지? 그럼 다음이 당연히 성립할거임 S= ( S\U(S_n) ) U ( U(S_n) )
U(S_n) 이 countable 인데 S\U(S_n) 마저 countable 이라면 나쁜 일이 발생하는게 보임?
넵!!!만약에 S\U(S_n) 마저 countable이면 모순이 발생합니다 S가 countable이 되어버려요
어게이 그럼 이제 너가 올린 내용중 이해못한건 없는거같은데 뭐 더있으면 얘기해
이해했습니다!!! 감사합니다!!!! 진짜 감사합니다 이거 이해해 보려고 새벽까지 잠도 못 잘정도였어요 진짜 설명해주셔서 정말 감사합니다!!!!!!!!친절하게 설명해주셔서 감사합니다!!!!
선생님 마지막으로요 가장 첫번째 사진에 U(S_n)이 n=2부터 시작하는 이유가 뭔지 알려주세요ㅜㅜㅜㅜ자꾸 죄송합니다
[0,1] 폐구간이라서 그렇겠지요?
정말 감사합니다!!!!!!!!
ㅇㅇ n=1 일때도 넣어버리면 (0,1] 로가니까
감사합니다!!!!!!!!