"A가 셀수 없는 집합이고 B를 A를 두개의 셀수 없는 집합으로 나누는 실수의 부분집합이라고 하자. 다시말해 { x : x ∈ A 이고 x < s} 와 { x : x ∈ A 이고 x > s} 가 모두 셀수 없는 집합이면 s ∈ B이다. 이때 B가 공집합이 아니면서 열린집합입을 보여라"
를 푸는데 도저히 시작을 어디서 해야될지 몰라서 math stackexchange에 있는 답변을 몇개 봤는데 그래도 이해가 안되는데...
참고한 링크는
https://math.stackexchange.com/questions/3042397/show-a-set-is-nonempty-and-open
이 3개 링크인데
이 풀이 부분에서 뒷 문장이 이해가 되지않는데, 왜 한쪽은 적어도 countable해 지는지 모르겠음.
그리고 이 방법 이외에도, {s∈R∣A∩(−∞,s) is countable} 이라는 집합을 잡아서 풀이해 나가는 부분이 있던데...
왜 갑자기 countable한 set을 두는지도 잘 모르겠음.
혹시 힌트나, 아니면 새로운 풀이 방법 있으면 알려주면 감사...
B가 open 임을 보이기 위해선 B의 원소 xㅌB 의 근방 (x-δ,x+δ) 이 존재해서 B의 부분집합이어야 함. 이것의 부정이 뭐겠음? 어떤 δ>0 을 가져오던지 간에 반드시 (x-δ,x+δ) 가 B의 부분집합이 안된다. 다시말해 (x-δ,x+δ)의 원소중 적어도 한놈 x_δ 이 B의 원소가 아니라는거지.
x_δ 가 B의 원소가 아니라는건? B의 원소가 될 조건인 "A를 두개의 uncountable subset으로 나눈다" 를 성립시키지 못한단 소리고 따라서 (-inf,x_δ)nA 또는 (x_δ,inf)nA 둘 중 하나는 countable 이어야겠지(둘 다 countable이 아니면 둘 다 uncountable 이라는 소린데 그럼 x_δㅌB 니까)
B의 원소가 아닌 => countable로 가는게 맞는건가요? 당연한건가요 ㅠ
x가 B의 원소이려면 x좌우로 나눴을 때 A를 두개의 uncountable 로 나눠야하잖음. 그 부정이 성립하려면 x좌우로 나눴을 때 왼쪽 오른쪽 둘 중 적어도 하나는 uncountable 이 아니어야지
이 상황을 수직선 그림으로 한번 그려보면 이해가 될거같네요 감사합니다!
uncountable 이 아니면 finite 아님 countably infinite 인데 finite or countably infinite 를 보통 countable 이라고 부르고. 명확치 않으면 at most countable 이라고 해도되고
ㅇㅇ 자세히 들여다보면 크게 어려운상황은아님