내가 아는 "실수 전체에서 미분 가능"의 정의는
실수 전체에서 도함수 값을 갖는다는 거임
그래서
f(x)=(x^2)sin(1/x), (x≠0)
0 , (x=0)
같은 함수도 도함수가 x=0에서 불연속이긴 한데
실수 전체 집합에서 도함수는 함수값을 가지기 때문에 실수 전체 집합에서 미분 가능인걸로 알고 있음
그러면 도함수가 이런식으로 실수 전체 집합에서 정의돼있지만
불연속인 함수도 실수 전체에서 미분 가능이라고 할 수 있는거임?
f'(x)=0 (x≠0)
1 (x=0)
f'(x)=-1 (x<0)
0 (x=0)
1 (x>0)
일단은 네 말이 맞긴 한데, 사실은 저렇게 도함수가 뚝뚝 끊기는 함수가 존재하지는 않음
뭐 어쨌든 도함수가 실수 전체에서 정의되기만 하면 미분가능인건 당연한거고
뚝뚝 끊긴 도함수를 가진 함수는 미분 가능이라고 할 수는 있어도 애초에 그런 함수는 없다는 거군요
그치
다르부정리에 따르면 사잇값성질이 성립하지 않는 도함수란 존재하지 않음. 어떤 함수를 미분했는데 상이 뚝 끊겨있으면 잘못 계산한거거나 거짓말을 하고있는거임
다만, 연속이 사잇값성질을 함의하는 것일 뿐 연속이 아니라고 하여 사잇값성질이 반드시 비성립하는 것은 아니긴 함. 도함수가 불연속 및 사잇값 성질을 만족하는 함수의 예시는 본인이 본문에 제시해놓음.
아주 좋은 질문을 한거같은데 해석학 공부 계속하면서 해소해보길 바람
함수가 연속이면 중간값정리가 성립함. 그런데 도함수는 연속이 아니어도 중간값정리의 성질이 성립한다는게 다르부의 중간값정리임