P. 함수 f가 f:(0, 1)→(0, 1)인 연속함수일 때, f(c)=c를 만족하는 실수 c가 존재함을 보여라.

A. 새로운 함수 g(x)를 f(x)-x라고 두자. 그러면 g(x) 또한 연속함수이다. 또한 g(0)=f(0)-0>0, g(1)=f(1)-1<0 (∵0<f(x)<1)이므로 중간값 정리에 따라 g(x)=0, 즉 f(x)=x인 c가 존재할 수 있다.


문제 P. 에서의 (0, 1)→(0, 1)인 연속함수 f는 정의역이 (0, 1), 공역이 (0, 1)인 연속함수를 뜻 하는 것이 맞나요?

그렇다면 풀이 A. 에서의 논리는, 개구간이 아니라 폐구간, 즉 [0, 1]→[0, 1]인 연속함수여야 중간값 정리를 활용할 수 있게되는 것이라고 생각하는데, 타당한가요? 예를들면 x랑 √(1+3x²)-1은 (0, 1)에서 교점이 존재하지 않잖아요?