[대학교이상] 이런 함수가 존재할까?

[익명(118.235)]

f,g : (0,1) -> R

a<b => f(a)<g(a)<=f(b)<g(b) 인 함수가

존재할까? 연속은 자명히아닌데

불연속으로 어케구성될수도 있나 궁금하네... 구성불가인가

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[수갤러 1(59.11)]

(0,1)의 subinterval (c,d) : uncountable에서 임의의 countable subset S를 잡음, e in S에 대해 f(c) + sum_e {g(e)-f(e)} < f(d) 인데
앞 값은 S를 잘 잡으면 발산함
https://math.stackexchange.com/questions/20661/the-sum-of-an-uncountable-number-of-positive-numbers
그래서
그런 함수는 없음

[익명(118.235)]

스택에선 uncountable sum말하는거같은데 S를 어떻게잡아줘야함? - dc App

[수갤러 1(59.11)]

Jack M 이 쓴거 보셈

[수갤러 2(118.235)]

R상에서 disjoint open interval을 uncountable개 잡을 수 있냐는 문제와 같음. 정답은 no. 간단히, disjoint open interval 잡으면 각 구간마다 distint한 유리수들 뽑아줄 수 있으니 유리수 개수보단 적어야겠지.

[수갤러 2(118.235)]

저런 함수가 존재하면 (f(x),g(x))들은 disjoint한데 uncountable개(=(0,1)상의 x의 개수)만큼 있으니까 위의 결과에 모순.

[익명(118.235)]

음 사실 그문제를보고 본문을 작성한건데, 지금보니 본문은 댓글로달아주신 명제의 충분조건같은 느낌?이겠네요. 제대로하려면 자연수와 실수 사이의 크기를 갖는 uncountable 집합에 관해서도 얘기해줘야되니까.. 댓글로달아주신명제를 본문이 거짓이다만을 보여서는 증명하기 힘들겟죠? - dc App

[익명(118.235)]

//유리수집합보다 이하이다 그 논리전개하지않고 본문만 거짓임을 보였을때.의 얘기 - dc App