[일반] 왜 원시함수가 면적을 구하는 적분과 연관이 있는거임?

[익명(218.157)]

나 이해시켜주면 상품권 준다

[수갤러 1(124.53)]

그래프 아래의 면적을 재는 함수를 미분하면 원래 함수가 나와서

[Affine(algebra500)]

그것이....역도함수니까 (끄덕)

[Affine(algebra500)]

근데 이게 존나 중요한거긴함 [a,b] 적분값은 a랑 b사이의 모든 정보를 구워삶아서 만들어낸건데 그게 어떻게 a랑 b라는 끝점의 정보로 요약이 되는거냐? 대체 어떻게? 라는 질문임

[Affine(algebra500)]

이걸 단순히 미적분학 기본정리이라고 퉁치기엔 스토크스정리 (벡터장의 컬을 면적분=면적분 외곽을 감싼 벡터장 경로적분), 발산정리(벡터장의 발산을 체적분=체적의 겉면을 따라 면적분) 에서도 비슷한 의문이 따라옴. 시발 내부의 정보를 구워삶아만든 값을 어떻게 외곽값만 가지고 알아낼 수 있지? 라는 의문임

[수갤러 2(61.75)]

f(x)의 그래프 아래 면적을 나타내는 함수를 S(x)라고 했을 때 S(x)를 미분하면 f(x)가 나옵니다. 따라서 S(x)는 미분했을 때 f(x)가 나오는 함수, 즉 f(x)의 부정적분 또는 원시함수임을 알 수 있고 면적계산의 시작점을 a라 하면 시작점에서 면적은 0이어야 하므로 S(a) = 0입니다. 이때 f(x)의 수많은 부정적분을 F(x) + C

[수갤러 2(61.75)]

꼴로 나타내면 S(x)와 F(x)는 상수항 차이이므로 S(x) = F(x) + C1 일 것이고 a넣었을 때 0나오므로 C1 = - F(a)이고 S(x) = F(x) - F(a) 이것을 정적분 기호로 표기할 수 있습니다

[수갤러 2(61.75)]

F(x)는 f(x)의 부정적분이므로 무수히 많은 함수가 있지만 이 함수에 F(a)라는 자기 자신의 함숫값을 빼주면 그 함수는 딱 하나로 특정되게 됩니다 이래서 이름이 정적분인것이죠

[수갤러 3(175.215)]

이산적으로 생각해보자 1,2,3,4,5,... 이런 값들을 함수값 가지는 함수가 있다고 해보자 N×N에서 순서쌍으로 본다면 (1,1), (2,2), (3,3), ... 이런 형태겠지 누적량이 어떻게 될까? 1항부터 1항까지 합 1 1항부터 2항까지 합 1+2=3 1항부터 3항까지 합 1+2+3=6

[수갤러 3(175.215)]

새롭게 만들어진 함수(수열)을 생각해 볼 수 있어. Sn:N->N S1=1, S2=3, S3=6,... 이 때 n항부터 m항까지 합을 생각해 본다면 1항부터 m항까지 합에서 1항부터 (n-1)항까지 합을 빼면 되겠지?

[수갤러 3(175.215)]

Sm-S(n-1)이런 식으로 비슷한 일을 이항집합이 아니라 연속집합에서 생각해보면 f:R->R 정의역 [a,b]가 주어졌을 때, f(a) 부터 f(b)까지 모든 함수값들을 더하면 누적함수F(x)에서 F(b)-F(a)값을 가진다고 볼 수 있어. 이런 함수를 원시함수라고 부르고 있고

[익명(223.62)]

https://m.dcinside.com/board/mathematics/361685
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[익명(220.71)]

생각보다 쉬움 f(x)의 a부터 t까지의 넓이를 S(t)라고 하자 우린 S(t)라는 함수를 요리조리 컨트롤해 최종적으로 S'(t)=f(t)임을 증명하면된다

[익명(220.71)]

deltaS(x)에 대해 생각해보자 deltaS(x)=S(x+deltax)-S(x) 이다 이때 그래프에 deltaS(x)를 그려보면 이는 deltax × f(x)(직사각형 넓이)와 오차가 좀 있긴해도 이 둘은 어느정도 비슷한 값을 가진다고 볼 수 있다

[익명(220.71)]

이때 극한을 이용해 deltax를 0으로로 보내면 어떻게 될까? 둘의 오차는 점점 작아져 결국 lim deltaS(x) = lim deltax × f(x) 이될것이고 deltax를 이항하면 lim deltaS(x)/deltax = f(x) 가 된다 좌변은 미분의 정의이므로 dS(x)/dx = f(x)

[익명(220.71)]

따라서 S'(x)=f(x)인걸 알 수 있다

[익명(220.71)]

근데 이건 f(x)의 부정적분이 S(x)와 큰 관련이 있단것만 알 수 있고 왜 정적분이 함수의 넓이를 알려주는지는 어렵지않으니 스스로 고민해보자

[익명(218.157)]

이해했다 ㄳ

[익명(218.157)]