연습문제 풀다가 나온건데,
metric d를 갖는 두 metric space X, Y에 대해
Y \subset X일 때,
open in Y면서 not open in X인 집합이랑
closed in Y면서 not closed in X인 집합 A의 예시를 찾으라는데
몰라서 솔루션을 봤음.
근데 두 예시 다 A = Y이던데
두 집합이 같으면 서로에 대해 open이면서 동시에 closed야?
A = Y = [0, 1]인데
0이나 1에 대해서는 eps-neigborhood (eps >0)가 없으니까
A는 open in Y가 안되는 거 아닌가?
[0,\epsilon)은 [0,1]과 (-\epsilon, \epsilon)의 교집합이기 때문에 [0,1]에서 0의 \epsilon neighborhood임.
아 그런 식으로도 정의가 되는거야? 나는 주어진 지점에서 d에 대해 거리가 \epsilon 안쪽인 집합 전체가 해당 집합 내에서 정의되어야 되는 줄. 그냥 그 집합과의 교집합이 공집합만 아니면 되나보네.
아니면 [0, 1]이 [0, 1]의 subspace라는 가정이 있으니까 애초에 neighborhood를 고려할 때 (-eps, 0)는 정의되지 않으니 고려할 필요가 없다 이렇게 생각해도 되는건가?
정의를 잘 읽어보는 게 좋을 것 같음. 예시로 [0,1]에서 {0}은 open이 아니지만 {0}\union[1,2]에서 {0}은 open인데, 이 차이를 이해할 수 있어야 함
그리고 말한대로 임의의 topological space X(해석학 단계라면 임의의 R^n의 subset X)에 대해서 X는 X 안에서 open & closed임.
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