Do carmo에 나오는 곡면 위에서의 미분 정의인데, 여기까지는 알겠는데 궁금한 건 뭐냐면
곡면과 곡면 사이에서의 미분의 정의가 잘 이해가 안감.
R^2의 open set 위에서 함수가 정의 되어있어야 우리가 기존에 알던 미적분을 할 수 있어서 Def1처럼 정의한 거 같은데
곡면과 곡면 사이의 경우에도 X2가 왜 필요한 거임?
phi 합성 X1 이걸로 충분한 거 아니야?
그리고 위 정의를 받아들여도 X2가 미분가능하니까
X2랑 (X2의 역함수)합성(phi)합성(X1)을 합성한 게
phi 합성 X1이고 미분가능하다는 게 도출되잖아.
그래서 결국엔 X2를 이용해서 굳이 치역도 R^2의 open set으로 세팅하는 이유가 뭐임? 정의역만 R^2의 open set이면 치역이 곡면이든 뭐든 상관없는 거 아니야?
그리고 두번째는 여기서 X의 역함수는 치역이 R^2의 open set인데 이건 그냥 R^3의 곡면으로 identify하고 미분을 따지고 있는 거야??
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지금은 R^n에서 R^m으로 가는 map의 미분가능성을 가지고 S1에서 S2로 가는 Map의 미분가능성을 정의하려는 상황임 Def.1에서 a Map from S to R의 diff'bl을 정의했지 여기서 우리는 아직 R^2 to S의 diff'bl을 정의한 적이 없고 diff'bl Map의 inverse나 합성 또한 다루지 않았음
그럼 R^2 to S의 diff'bl은 어떻게 정의할거냐 그리고 어차피 S1 to S2를 정의할거 아니냐 그런 생각들을 하고나면 저렇게 끝내는 정의가 나오게됨
S에서 R로 가는 map은 기존의 미분으로 설명할 수 없는 건 알겠는데, R^2에서 S로 가는 map은 문제가 없지 않아? 정의역이 R^2의 open set이면 충분히 미분 가능한 거 아니야? - dc App
R^2 to S를 정의하고 갈 필요없이 더 일반적인 S1 to S2를 바로 정의할거라고
그리고 어차피 R^2 to S 의 미분가능성도 풀어서 적으면 (x의 역함수)합성(phi)를 통해 R^2 to R^2 얘기로 돌아가게 됨 혹시 S를 R^m에 임베딩시킨 것으로 보고있어서 정의역만 R^2면 상관없다고 생각하는거면 아래에 다른 댓글 보고 임베딩 없이 local하게 정의하는 것도 필요하다고 받아들이면 좋겠다
Do carmo 방금 찾아봤는데 진짜 R^3에 있는 걸로 시작하네.. 5.10에 abstract하게 다시 다루니까 여기에 Def.2도 같이 보면 좋을듯
이게 intrinsic/extrinsic의 개념인데, 이 책에서는 곡면을 R^3의 부분집합으로 보고 있지만, 사실 그럴 필요는 전혀 없거든. 그냥 locally R^2인 어떤 공간을 들고오면 이걸 surface라고 부를 수 있고, 책에서 하는 웬만한 얘기를 다 똑같이 할 수 있음. (예를 들면 Klein bottle이 있을텐데, 이건 surface지만 R^3에는 embed할 수 없음.) 그리고 이런 이야기를 할 때는 이 surface가 "어떻게 locally R^2"인지만 중요하고, 이게 "R^3에 어떻게 embed되어 있는지"는 전혀 중요하지 않음. 곡면은 그 자체로 곡면인거지, 그게 배경공간인 R^3에 어떻게 들어있는지는 중요하지 않고, 꼭 들어있을 필요도 없다는 거지.
전자의 얘기를 intrinsic property, 후자의 얘기를 extrinsic property라고 부름. 나중에는 아예 더 일반화해서, 그냥 locally R^n인 어떤 공간을 n-manifold라고 정의하게 될 거임.
하여튼 이런 관점에서 볼 때 surface를 R^3의 부분공간으로 보고 differentiability를 정의하는 것보다 locally R^2인 공간으로 보고 정의하는 게 더 자연스럽다는 거.
그럼 locally R^2로 보고 diff를 정의하는 건 레퍼런스 추천해줄 수 있어? - dc App
ㄴ 미다체 암거나보면댐
어차피 R^n 의 submanifold 에서 하는거라 좀더 본질적인 정의와 설명이 있긴 한데 여기에 적긴 좀 그렇고 밀너 빨간색 작은 책 초반부랑 스피박다변수 5장 좀 보셈 - dc App
1. 스피박 다변수 5장 미다체 정의랑 정리 5-2 를 본다. 2. 밀너 빨간색 작은책 1장을 본다 저거 설명하는데 submanifold 밖에서 가져오는건 좀 낭비이고 더 아리송해질 뿐임 - dc App
Topology from the differentible view point 이거 맞음? 밀너 빨간책이 - dc App
ㅇㅇ 그거 맞음 이거 1장 보는거 강추 - dc App
학부수준 책이라 좋음 - dc App
결국 중요한건 S라는 녀석을 각각의 점 주변에서는 R^2나 마찬가지로 생각한다는 intuition이 중요한 거임. 그래서 S->R 로 가는 함수를 정의하면 자연스럽게 각각의 점 위에서는 S->R을 R^2->R로 가는 함수로 생각할수 있는거고, R^2->R은 미분가능성이 잘 정의되어있으니 그걸 따라서 S->R의 미분가능성을 생각하는거지. 또 곡면사이의 경우에도 비슷한데, 어떤 함수 f: S1->S2가 있으면 사실상 로컬하게는 R^2->R^2로 생각하는거임. 그래서 R^2->R^2에서 잘 정의되어있는 미분가능성을 그대로 쓰면되는거지 (적어도 각각의 점에서 로컬하게는).
니말대로 x2를 안쓰면 맵이 R^2->S2로 가는 맵이 되어버리는데 S2라는 곡면 자체는 미분가능성에 대해 논의한적이 없으니까 이건 곤란한거지. S2의 어떤 점 주변의 로컬한 부분은 R^2랑 다름없기 때문에 그 x2를 추가하면 R^2->R^2의 맵이 되어버리는거라 미분가능성을 얘기하기 훨씬 좋은거고