[일반] 해석 질문!

[임고생(121.142)]

귀류법이랑 수학적 귀납법으로 하면 될꺼 같긴한대..

직접적으로 보이는 방법은 없을까?

[익명(210.97)]

n번 합성함수 g의 도함수는 f'×f'×f'×... 니까 g는 감소 증가 감소 증가..

[임고생(121.142)]

뭔소리야?

[임고생(121.142)]

여전히 너가 뭐라 하는지 모르겠어..

[익명(210.97)]

(-)×(-)×(-)×(-)×(-)×... --> -였다가 +였다가.. 또 g(a)=a고 얘빼고 나머진 y=a를 기준으로 커졌다작아졌다.. 어쨋든 수렴값은 a여야하는데 설령 n이 커질수록 g가 증감성이 약해져서 g(x0)가 a에 가까워지더라도 어느순간부터 g'에는 f'을 -1보다 작은걸 추가로 곱하니 다시 멀어지고 다시 가까워지면 또 휙하고 멀어지네..

[익명(210.97)]

미안 지웠었다..

[임고생(121.142)]

지우기 전이랑 그대로 아니야??? 합성함수의 증감이랑 수열이 수렴하는거랑 어떻게 연관시키라는 거야?

[익명(210.97)]

x0가 a로 갈려면 g(x0)가 a에 가까워져야 한다는건데 g는 전체증가 or 전체감소니까.. 결국 상수함수에 가까워질려 할거고 즉 g' = f'×f'×f'×...->0 이어야한다는건데..

[익명(210.97)]

근데 계속 곱해지는 f'은 사실 x0가 a로 가까워지면서 언젠가는 -1보다 작아야겠는데.. 이러면 전에곱해져왔던 f'×f'×f'×.. 보다 절댓값이 커지면서 0에 가까워 질수가 없는거야.. 그니까 상수함수에 가까워 질래야 가까워질수없는거지..

[익명(210.97)]

사실 상수함수고 뭐고 이런설명 말고 그냥 머리로 그래프한번 그려봐.. 그게 더 한번에 이해갈지도 몰라

[임고생(121.142)]

x_0=0 이야 너가 x_n을 x_0로 잘못 썼다고 해도 왜 x_n이 수렴하려면 g(x_n)이 수렴해야 한다는거야?

[익명(210.97)]

g=f(f(f(f(...(x))..))) 여기서 f를 n번합성한것이니 g(x0)=x(n+1)그니까 g(x0)가 수렴해야해 g는 n에따라 바뀌게돼

[익명(210.97)]

음 그냥 내꺼 건너뛰어 내가봐도 이렇게 말로 장황하게 설명할건 아닌거같고 임고생한테 다른사람사고를 우겨넣고 싶은것도 아니라서.. 어차피 저게 참이라는건 변하지않으니 이런식보다는 범용적인걸로 하는게 더 좋을 듯 하다 물론 여러가지 방법이나 관점을 찾겠다는 건 좋은 의도지만..

[임고생(121.142)]

그래 고맙다

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

가능한 극한값이 a뿐이고, a로 수렴한다 가정하면 a에서의 미분값이 -1보다 작으니까 (f값의 차이/ x값차이)가 r<-1보다 작은 곳을 잡을 수 있음 수렴가정과 r의 절댓값이 1보다 큰게 모순임을 보일 수 있음(여기서 f(xn)=a가 아님을 귀납법으로 먼저 증명해야함)

[임고생(121.142)]

어 나도 이거 생각했는데 귀류 말고 직접적으로 보이는 방법은 없을까?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

안될것 같진 않은데 어차피 이런 논리로 수렴할거같은데

[ns(qwer2357)]

귀류법 안쓰면 엄청 복잡해질건데, 만약 f의 도함수에 연속조건이 있으면 조금은 낫게 할수 있음. a근방에서 |f' | >= c >1 이 만족되게 할수있어서 a근방에선 |f(x)-f(y)| >= c |x-y|를 얻는데 이제 y=a대입해보면 a근방에선 저게 거리를 늘리고 있는 변환이라서 a점으로 수렴할수가 없으니까.

[ns(qwer2357)]

이게 복잡해지는 이유는 저 a의 근방을 글케 쉽게 못잡는 함수 만들어버리면 이유를 알수있음. 우리의 친구 x^2 sin 1/x를 h(x)라 두고 f가 a근방서 -1.1x + 0.8 h(x)처럼 움직인다고 하면 여전히 순감소하면서도 도함수를 진동시켜 국소적인 expansion map이 안되게 할 수 있으니까.. 뭐 안되는건 아니겠다만 저걸 걸러줘야한다는거니

[ns(qwer2357)]

직접증명으로 좀더 깔끔해지는 풀이는 안나올거같음

[임고생(121.142)]

아 그렇구나~ 고마워!