Do carmo 앞부분으로 곡면을 R^3 안의 subset으로 보는 관점에서 일단 공부하고 있는데 1st fundamental form이 결국은 곡면 S 위의 각각의 점의 tangent plane이라는 벡터공간에 R^3의 dot product를 그대로 적용시켜서 tangent plane을 내적공간으로 만드는 거라고 이해를 했는데 이게 뭘 위해서 하는거야? Tangent plane에 내적을 정의해서 뭘 하고싶은 건지 모르겠어. 내적을 부여해주면 tangent plane 내에서 norm이나 angle을 정의할 수 있는 건 알겠는데 그러면 그냥 tangent vector의 norm이나 angle은 R^3의 dot product 때와 다른 게 없는 거잖아. 이걸 왜 책에서는 'definition’이라면서 힘 주는지 모르겠어. 곡면을 R^3 안의 subset인 관점으로 보고 있어서 이런 느낌이 드는 건가?
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니말대로 곡면을 R3의 부분집합으로 정의해서 불필요함이 느껴지는거임. 결국에 목적은 manifold를 그 ambient space 없이 그자체로 정의하고 그위에서 노는거라서
도카르모에서는 탄젠트 스페이스를 그냥 parametrization 의 치역으로 정의하는데 원래 R^3 의 submanifold 의 geometric tangent space 원소들은 이중쌍으로 (p,u) 로 표현하고 (여기서 p는 곡면의 점이고 u는 너가 알고 있는 탄젠트 스페이스의 원소임) 선형성은 당연하게도 (p,u+cv)=(p,u)+c(p,v) 로 정의함. 이러한 정의 탄젠크 스페이스는 R^3 의 subset이 아니기 때문에 적절한 내적의 정의가 필요 하고 정의를 <(p,u),(p,v)>_p=<u,v> 로 정의를 함. 원래는 이렇게 하는게 맞는데 도카르모는 미분형식을 다루지도 않고 탄젠트 번들도 사용하지 않아서 걍 대충 그렇게 하는거 같음. - dc App
탄젠트 스페이스를 저렇게 다루니까 탄젠트 번들을 못다루고 이에 따라서 4장에서 exponential mapping 을 geodesic flow 로 생각하면 편한것을 아주 우격다짐으로 증명하고 다룸. 도카르모의 유일한 흠이라고 생각함. - dc App
근데 그렇다고 이런 정의가 단점만 있는건 아닌게 아무래도 벡터필드를 S 에서 R^3 로 가는 사상으로 볼수가 있어서 좀더 직관적이라는 장점이 있기는 함. - dc App
일단 너의 질문을 나는 “어차피 R^3 의 내적을 그대로 사용하는데 정의할 필요가 없지 않냐?” 로 받아드렸고 이에대한 답은 딱 이정도로 말 할 수 있을거같음. 아리송한 부분이 조금 더 남아있다면 스피박 다변수 책 4 5장에서 탄젠트 스페이스를 어떻게 정의하는지 유심히 봐봐 - dc App
그런 당신을 위한 미분다양체론
R^3상에서만 생각해보면 결국 거리를 보존해주는 것을 의미해. R^3의 부분집합으로 보면 좌표를 생각하고 계산할 수 있겠지? 그런데 계산이 너무 복잡해지거든? 선대에서 행렬 계산 편하게 하려고, 기저를 새롭게 잡아서 대각화 한거 기억남?(아이젠 벡터를 기저로 잡는거지) 여기서는 탄젠트 공간상의 새로운 기저로 정의하면, R^3의 연산이 아니라
탄젠트 공간상의 연산으로 바뀌어. 곡선 할 때도, 곡선의 각 점마다 새로운 기저를 설정했잖아. TNB 하듯, 곡면 할 때도, 곡면의 각 점마다 새로운 기저를 설정하고 거기서 연산을 할거야. 그런데 매우 자연스러운 연산을 하는거지
곡선에서는 {T,N,B}를 기저로 한 것 처럼, 곡면에서는 편미분 한걸 기저로 삼아서 연산할건데, 짧게 보면 이들을 내적한 제 1기본형을 이용하여 곡면의 휘어진 정도를 계산할 수 있어. 곡면 위의 한 점에서, 한 방향을 주어지면, 그 방향으로 곡면을 자를 수 있고, 그 잘라진 단면의 곡선의 곡률을 구할 수 있는데 이를 법곡률 이라고 하고
R^3에서 곡면을 계산할 때는, 거짓말 좀 보태서 법곡률 구하는 것이 사실상 전부라고 할 수 있거든? 근데 이를 제1 형식을 이용 해서 구할 수 있어 ( 물론 추가 정보가 더 필요하긴 해 )
곰곰히 생각해보면 이상한 부분이 있어요, 곡면을 R3 의 subset으로 보고 전개할때 tangent space는 (곡면이 들어가있는) R3의 sub (topological) space이지만 sub(vector)space는아니에요, 너무나 당연한 이야기지만 원점이 다르기 때문. 즉 점 p의 tangent (vector) space 가 들어있는건 p (in M) in R3 로 생각했을때 R3에서 p의 tangent space를 생각할 수 있고 그 vector space의 sub vector space로 생각하는거에요.
그니까 쓴 글에서 " R^3 안의 subset으로 보는 관점" 에서 나오는 R3와 "벡터공간에 R^3의 dot product를 그대로 적용시켜서" 에 나오는 R3는 서로 다른 R3인거죠, (뒤에 R3가 앞에 R3의 tangent space)
즉, R3를 topological space로 봤을때, 각 점마다 다시 R3가 (tangent space로) 붙어있고, 거기에 스탠다드한 내적을 생각해서 곡면의 tangent space를 내적공간으로 생각할 수 있는거죠. 근데 각 점마다 붙어있는 R3에 내적이 (매끄럽게) 다르다면 어떤 그림이 그려질까요? 저는 이게 미분기하학의 본격적인 시작이 아닐까 싶어요