[일반] 현대 체 질문

[익명(211.215)]

위 문제 있잖아. G(K/F) 의 위수가 결과적으로 6이라서 Z6이거나 D3인데, 이걸 Z6임을 보이는 걸 나처럼 해도 될까?

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정말 엄밀하게 쓰려면 1. 차수가 6인 걸 보여줘야 함 2. 위수가 6이면 Z_6거나 D_3인 걸 언급해줘야 함 3. 풀이과정에서 쓴 \sigma의 존재성을 보여줘야 함

[익명(211.215)]

댓글 고마워 1, 2는 생략했어. 3은 어떻게 보여줘야할까? 나는 시그마가 3제곱근 2랑, 제곱근 5의 사상들로 구성되니까 저런 시그마가 존재할 것이다 라고 생각했거든. - dc App

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2번은 생략한다 치더라도 1번,3번은 중요함. 풀이과정을 임용고시에서 얼마나 보는지 모르겠는데 그냥 학부 시험에서 나왔다고 치고 4점 만점으로 채점한다면 2~2.5점 사이일 거임

[익명(211.215)]

1번이 갈루아군의 위수가 6인걸 말하는거지? 그건 당연히 했고, 나는 시그마 때문에 질문한거여서... - dc App

[익명(211.215)]

그리고 2번도 문제풀 때는 썼고. 근데 임용인건 어떻게 앎.. - dc App

[수갤러 1(143.248)]

K/F(3제곱근 2)에서 제곱근 5의 minimal polynomial이 degree 2이기 때문에(보여야 함) 제곱근 5를 -제곱근 5로 보내고 3제곱근 2를 고정하는 Gal(K)의 원소 sigma_1이 존재, K/F(제곱근 5)에서 3제곱근 2의 minimal polynomial이 degree 3이기 때문에(보여야 함) 제곱근 3을 3제곱근2의 conjugate로 보내고 제곱근 5를 고정하는 Gal(K)의 원소 sigma_2 존재. sigma는 sigma1과 sigma2를 합성하면서 얻어짐.

[수갤러 1(143.248)]

저 문제가 4점이려면 임용이어야 됨,,, 시험이였으면 10~15점짜리 문제야

[수갤러 1(143.248)]

약간 보태면 여기서 Gal(K/F(3제곱근2)는 Gal(K/F)의 부분군이니까 sigma_1은 Gal(K/F)의 원소가 됨

[익명(211.215)]

그거 다 쓰려면 답안지에 못 쓸듯 ㅋㅋ. 생각해볼게 - dc App

[익명(211.215)]

답변 고마워~ - dc App

[수갤러 1(143.248)]

임용 채점 기준을 모르겠긴 함 ㅋㅋ;; 근데 저 sigma가 존재하는 이유를 아는 거랑 모르는 건 이해도 면에서 차이가 크다고 보긴 해

[수갤러 1(143.248)]

화이팅~~

[익명(211.215)]

그런듯 해. 개념 공부 더 해야겠다 고마워 - dc App

[수갤러 1(143.248)]

다른 방법을 생각해봤음 1. K를 F(3제곱근 2)/F와 F(root 5)/F의 composition field로 나타내면, 둘다 galois extension이고 F(3제곱근 2)와 F(root5)의 교집합이 F기 때문에 composition field의 galois group은 두 field extension의 galois group의 direct product가 됨. 따라서 Z_3 * Z_2 = Z_6. // 2. F가 2nd, 3rd primitive root of 1을 포함하고 K/F가 x^3-2, x^2-5로 만들어지기 때문에 abelian extension임을 알 수 있음.(kummer extension 참조) 따라서 위수가 6인 abelian이니까 Z_6

[익명(211.215)]

굳. 생각해볼게 - dc App