우리가 보통 벡터장이라고 하면 real valued f,g,h : R^3->R 에대해
단순히 F(x,y,z)=(f,g,h) 만 의미하지는 않잖음?
F(x,y,z) 가 물론 (f,g,h) 라는 벡터에 대응되긴 하지만
좀 더 정확히는 (x,y,z) 에 붙어있는, 그러니까 (x,y,z) 를 시점으로 하는 벡터 (f,g,h) 이기를 기대하잖아
그러니까 F(x,y,z) 는 p를 시점으로 하는 R^3 짜리 벡터공간의 한 원소로 들어가는건데 이걸 (탄젠트니까) T_p(R^3) 라고 쓰면
F(p) 는 T_p(R^3) 의 원소인데
그럼시발 F는 대체 R^3를 어디로 보내는거임
R^3 의 각 점에 R^3벡터공간이 붙어있는 집합이 집합론적으로 존재하기는 함?
R^6
일반적으로 smooth manifold의 각 점마다 tangent space를 매달아서 전부 모아놓은 걸 tangent bundle이라고 함
그게 번들이구나
각 점마다 벡터공간이 달려있는게 {p}×T_p(R^3)를 R^3에 있는 p에 대해 disjoint union한 거라고 책에 있을걸?
그렇게 한게 집합이라기엔 너무 커지진 않을까 잠깐 고민했는데 별문제 없나보네
아 크기는 위에 말한것처럼 R^6이랑 똑같아서 문제 없으
벡터번들
미분기하학적 맥락이랑 무관하게 dependent product/sum을 생각할 수도 있음
벡터장 = 탄젠트 번들의 섹션