stein 문제 풀고 있는데, 문제는 이거임
show that if |a|<1, then \int_{0}^{2\pi} \log | 1-ae^{i\theta} | d\theta =0.
Then, prove that the above result remains true if we assume only that |a| \leq 1.
stack이랑 이것 저것 찾아봤는데
branch cut을 [0, infty) 잡으면
pole이 branch cut 위에 있는데, 이 경우도 residue theorem 을 쓸 수가 있음?
그리고 |a|=1인 경우, branch cut 위에 정의 되지 않는 점이 있는데,
그냥 무시하고 적분 때리면 되나?
왜 자꾸 안 될 것 같은 느낌이지? 찾다가 지쳐서 글 올려봄...
log(1-az)의 pole은 단위원 바깥쪽에 있어서 branch고 뭐고 그냥 residue 쓰면 됨
절댓값이 1인 경우에는 pole이 정확히 원에 걸쳐있긴 한데, 경로를 살짝 깎아서 pole을 피하게 적분한 다음에 그렇게 경로를 바꿔도 적분값이 거의 안 변한다는 걸 보이면 끝