르장드르 다항식의 선형결합으로 이루어진 집합을 A라고 할때


A에는 영이 아닌 상수함수 1도 들어있고, 대놓고 단사함수인 x도 들어있으니 스톤바이어슈트라스 정리의 전제조건에 부합하고


따라서 A의 폐포 즉 르장드르 다항식의 선형결합의 모든 극한의 집합은 모든 연속함수를 포함하니


임의의 연속함수(단, [-1,1]에서 정의되는)는 르장드르 다항식의 series로 표현될 수 있다.



라고 이해했는데 맞나요? 개인적으로 세번째 줄이 조금의 비약을 포함하는거같은데 잘 모르겠네요.


+ 그리고 스톤바이어슈트라스 정리는 연속함수에 대해서만 설명하는데, 실제로는 불연속함수(e.g. 계단함수)도 르장드르 다항식의 series로 표현가능하단 말이죠.. 이거는 어떤 방식으로 증명해야되나요? Piecewise continuous에 대한 스톤바이어슈트라스의 일반화가 있나요?