[일반] 근데 나 항상 궁금한 게 있었는데

[극락정토(minsung0022)]

x^2 = -1

의 두 근을 i, -i 라 하는데

i를 도대체 뭐라고 정의한 거임?

보통 x^2 = a > 0 의 두 실근 중 

0보다 큰 것을 sqrt(a), 0보다 작은 것을 -sqrt(a)로

정의하잖음

근데 복소수는 대소비교가 불가능할 건데

i, -i는 도대체 무엇을 i라 정의한 거임?

- dc official App

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[극락정토(minsung0022)]

복소평면 자체를 만들 때 i를 깔고가는데 순환논리지 - dc App

[익명(106.101)]

구분못해 하나를 i라하면 나머지하나가 -i인거지

[극락정토(minsung0022)]

일반성을 잃지 않고 같은 느낌인 건가 - dc App

[익명(106.101)]

위에 1이랑 -1 얘기하는데 자연수를 먼저 정의했으면 -1은 자연수가 아니니까 구분할수있지 근데 실수만 있을때 i랑 -i를 대수적으로 구별할순없음

[극락정토(minsung0022)]

그럼 실수 > 복소수로 확장할 때, i는 뭘로 정의해야함? - dc App

[익명(106.101)]

x^2+1=0의 한 근

[극락정토(minsung0022)]

그럼 i, -i를 구분할 방법은 아예 없는 거임? - dc App

[익명(106.101)]

ㅇㅇ 실수에선 뭘로정의하던 어차피 isomorphic한 구조가 나오고 그래서 구분해야할 필요가 없음 어떻게든 복소수를 정의하고 나면 i랑 -i 두개가 있어서 아무 문제가 없음

[익명(118.235)]

i는 x³=-x를 만족하고 -i는 x³=x를 만족하는데 두 수가 구별이 안된다고? 맞음?

[극락정토(minsung0022)]

이건 먼 개소리임 - dc App

[수갤러 4(110.35)]

x³=x는 실근이 3갠데 무슨 개소리야

[수갤러 1(123.109)]

실수 -> 복소수로의 확장을 어떻게 했다고 생각함?

[극락정토(minsung0022)]

x^2 = a > 0 의 실근 중 0보다 큰 것을 sqrt(a)라 하자 >> 실수에서의 제곱근의 정의 x^2 = -1 의 실근 중 무엇을 sqrt(-1)로 정의해야함? - dc App

[수갤러 1(123.109)]

x^2 = -1을 만족하는 something이 있는 건 어떻게 앎?

[수갤러 1(123.109)]

그러니까 실수체를 포함하는 어떤 체 k가 있어서 그 체 안의 어떤 원소 i가 i^2 = -1을 만족한다. 를 어떻게 알지?

[극락정토(minsung0022)]

존재성과 존재성을 밝힌 후 각각을 정의하는 건 다른 거 아님? - dc App

[수갤러 1(123.109)]

체 이론을 배우면 알겠지만, R[x]/(x^2+1) 이 C의 정의임. 쉽게 말해서 R 계수 다항식들의 집합에서 x^2+1로 나눈 나머지가 같은 놈들을 동일시해서 얻어지는게 C임. 사칙연산은 자연스럽게 정의되고. 이 집합에서 x^2+1로 나눈 나머지가 x인 놈들의 동치류를 생각하면, 여기에 속한 다항식들의 제곱은 모두 x^2+1로 나눈 나머지가 -1이겠지.

[수갤러 1(123.109)]

그리고 R[x]/(x^2+1)이 체인것은 증명할수 있고, R과 동형인 부분체를 가짐. 따라서 내가 위에서 말한 체 k가 존재하고 이를 C라고 부름

[수갤러 1(123.109)]

그럼 여기서 i는 뭘까. x^2+1으로 나눈 나머지가 x인 놈들 x+<x^2+1>이랑 -x인 놈들 -x+<x^2+1> 두 모임 모두 가능하겠지. 근데 다항식의 근의 대칭성에 관한 이론에 의해, 실수를 고정하면서 앞의 놈을 뒤의 놈으로 보내는 자기동형사상이 있음.

[수갤러 1(123.109)]

수학에서 동형인것은 같게취급하므로, i와 -i를 구분할수 없다는게 여기서 나옴. 당연히 x와 -x 중 하나를 내가 i로 정의하고 나면 i와 -i는 한 집합에 속한 서로다른 원소임. 다만 둘의 정의를 바꿨을때 적어도 사칙연산의 영역에서는 똑같은 이론이 전개 가능하다는것임.

[수갤러 1(123.109)]

폰으로써서 너무 대충쓴거같은데.. 요약하면 체의 확장과 다항식의 근의 대칭성에 관한 이론을 공부하면 구분할수 없다 의 진짜의미를 알수있음

[극락정토(minsung0022)]

아직 한 거라곤 선형대수 1회독이라 잘 모르겠긴함 체 이론은 보통 언제 배움? - dc App

[수갤러 1(123.109)]

학부 대수학 후반부에서 함

[수갤러 2(182.222)]

[카카오M(kakaothh)]

되게 합리적이고 좋은 질문이라 생각해요. x^2+1 =0의 해를 i라고 정의하면 -i 또한 해가 되는데 그럼 i=-i가 되는거 아닌가?? 라고 생각할 수 있죠. 이런걸 고등학교 (또는 대학교 미적분학) 때는 제대로 설명해주지 않지만 i를 정의하는 과정을 좀더 자세히 봐야되요 그리고 그건 위 123.109 댓글에 나와있어요. 위에 다른댓글에 나와있듯 "i랑 -i를 구분할 수 없다" 인데, 결국 여기서 "구분한다"가 무슨말인지 이해하려면 대수학을 공부해야되요.

[수갤러 3(220.72)]

크레이직 공업수학 복소해석 파트에 고등학교 교과서와는 다른 방법으로 복소수 유도해놨음 그거 보면 이해가 될듯

[수갤러 3(220.72)]

실수는 실직선 위의 점이고 복소수는 복소평면위의 점인데 여기에 덧셈과 곱셈 연산을 정의하면 다 만족함을 보일 수 있음

[수갤러 3(220.72)]

고등학교 교과서에서 전개하는 방식은 확대체라는건데 추상대수를 이해해야 그 의미를 알 수 있을듯. 난 비전공자라 수학과 과목에 대해선 잘 모름

[수갤러 3(220.72)]

복소평면(좌표평면)의 x축 위의 점을 실수라고 하고 y축위의 원점이 아닌 점을 순허수라고 하고 그 외의 점을 허수라고 함 두 복소수 z = (a, b), w = (c, d)에 대해서 z+w = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)로 정의하고 zw = (a, b)(c, d) = (ac-bd, ad+bc)로 정한다.

[수갤러 3(220.72)]

그리고 i = (0, 1)로 정의하고 곱셈 정의에 넣어보면 i*i = -1이라는 결론이 나옴

[익명(mzlyy)]

그럼 제곱해서 4가 나오는 수는 -2, 2가 있는데 이 둘은 어떻게 구분함? 너가 그냥 허수가 생소해서 그렇게 느끼는 거임 ㅇㅇ

[극락정토(minsung0022)]

글에 적어둠... - dc App

[Affine(algebra500)]

어뗜 이유에서든 x^2+1=0 의 근이 적어도 하나 존재한다는 확신이 있다면 그것을 i라고 함. 그럼 -i 또한 x^2+1=0 의 근이라는 것을 알 수 있음. i와 -i를 어떻게 구분하느냐? 이미 구분했잖아. -i 는 (-1)i 이고, i 없이는 정의될 수 없음.

[Affine(algebra500)]

"정의가 다른 객체는 다르" 니까 다른거지. 그런데 이상함. 그럼 처음 i를 정의할때 x^2+1=0 을 만족하는 하나를 i라고 했는데 그게 i일지 -i 일지 어떻게암? 사실 이 질문은 i,-i 를 정의하기도 전에 그게 존재한다는 듯 생각하고 있음. 그럼 질문을 다른식으로 틀어보자. x^2+1=0 이라는 이름의 주머니에 구슬 두개가 들어있는데, 어떤 구슬을 꺼내더라도 "같은 현상" 이 일어난다면 (i -> -i 가 isomorphism) 경우의 수가 하나라는거고, 그럼 두 구슬은 같은 구슬이라는 의미겠지. 이런의미에서 i 와 -i 는 분간할 수 없음.

[Affine(algebra500)]

나는 "두 수학적 객체의 상등" 의 정의를 남용하고 있음. "정의가 같으면 같다", "같은 효과를 지닌 것은 같다" 이 두가지 정의를. 정의가 다른 것을 다르게 볼 것이라면 i와 -i 는 분명히 구분됨. C=R/<x^2+1> 에서도 x+ (x^2+1) 이 i이고 -x+(x^2+1) 이 -i 임. (물론 이 정의를 따르면 1+1과 2는 값이 같을지언정 서로 다른 객체임. 정의가 다르니까) 하지만 "두 객체의 위치를 서로 바꾸었을 때 같은 효과를 가지면 같다" 라고 '상등' 을 정의한다면 φ(x+iy)=x-iy 가 isomorphism 이니까 i와 -i 는 같은 거지

[수갤러 5(107.77)]

Brown and Churchill 앞부분에도 보면 복소수를 순서쌍 (a,b) 로 정의해놓고 이 표기를 a+ib로 한다고 하죠. 이걸로 생각하면 쉽습니다.

[익명(goodwong)]

위에 사람들 전부다 틀림 i와 -i 는 순전히 자의적임. 그냥 둘중에서 아무거나를i 라고 찍은거임. 두 수는 서로 inverse이지만 그외에는 완전히 동일해서 구별이 불가능함. i대신에 -i라고 써도 완전히 동등한 수학을 할 수있음. 그럼 구별이 안되는 두 숫자 중에 하나를 어떻게 고르냐? 다행히 이걸 무한번 선택을 해야하면 선택공리가 필요하지만 이번엔

[익명(goodwong)]

한번만 선택하면 되니 선택할수가 있음. 이건 생각보다 굉장히 중요한 문제일수 있는데 R에서 C로 확장하는 방법이 unique 하지 않음. 비슷하게 사원수로 확장 할 때에도 i j k를 임의로 지정할수밖에 없음

[수갤러 3(220.72)]

그냥 i*i = -1 을 만족하는 어떤 한 대상을 생각해 i라고 하자고 한거라고 보면 될 수 있지 않나? 그러면 -i도 그 i를 기준으로 생각한 것이고 i가 진짜 뭔지 논하는건 논의도 불가능하고 의미가 없다고 생각함.

[익명(147.46)]

대충 넘어가면 그런 찐빠가 나니까 엄밀하게 문제없이 해보려고 전대의 학자들이 집합론과 대수학을 정립했다고 생각해도 괜찮을듯

[극락정토(minsung0022)]

일단 다들 고맙고 내년에 현대대수학을 들으면서 이해를 해봐야허지 싶다 - dc App