[0,1]을 3등분하고 구간 또 3등분.. 무한히 하는
칸토어집합은 각 등분할때마다 생기는
구간의 끝점 n/3^m 꼴 유리수는 무조건 포함함이 자명한데,
칸토어 집합이 Uncountable하기 때문에, 반드시 무수히 많은 무리수점도 포함해야하잖아?
근데 칸토어 집합에 포함되는 무리수를 explicit하게 찾을 수 있는 지가 궁금함
사실 직관적으로는 그냥 구간 축소하면서 계속 줄어드니 n/3^m꼴 구간끝점 유리수만 포함할줄알앗는데
uncountable하니까 무리수점도 무수히많이 포함하게 된단말임..
무리수점 어떤걸 예시로 들수있을까? 칸토어집합에 포함되는 무리수.
+추가로, 칸토어집합 구성할때 E_1을 [0,1] 3등분낸거 E_2를 E_1 3등분낸거 ..로정의할때 칸토어집합 E=무한교집합 E_n이 각 자연수 n에 대해 E_n의 구간양끝점을 제외한 유리수점을 원소로가질수있는지도궁금함. - dc App
첫 번째 예시는 sum 2/3^(n!), 두 번째 예시는 sum 2/3^(2n)
일반적으로 Cantor set의 원소는 3진법 소수전개에서 0이랑 2밖에 없는 애들 전체임
ㅇㅎ 저렇게가능하겟구나 - dc App
참 아이러니해 비가산이라는건 아무거나 찍으면 무리수라는건데 인간이 얼마나 유리수에 익숙하면
이 문제외 관련된 재밌는 추측은, 칸토어셋의 모든 무리수는 초월수라는것임.
아직 미해결이고 해결을 위한 그럴듯한 아이디어조차 없다고 함.