[일반] 실수번 합

[익명(61.75)]

혹시 수열의 합에서 끝항이 자연수가 아닌 실수일 때를 다루는 내용이 있을까요?

[익명(124.53)]

네가 원하는 건 k가 1부터 x까지 실수값으로 연속적으로 변할 때 f(k)를 전부 더하고 싶은거임?

[익명(61.75)]

음 그니까 x가 자연수일 땐 기존의 정의대로 더하지만 자연수가 아닌 실수일 땐 그 합을 어떻게 계산할 수 있을까 궁금해서요 k를 1부터 n까지 합하면 n(n+1)/2 이라는 공식이 나오긴 하지만 n이 자연수가 아닐때에도 이 공식에 값을 대입할 수 있다는 근거가 있는지 있다면 무엇이고 합공식조차 없는 합에 대해서는 기존의 정보들만으로 어떻게 표현가능한지 궁금

[익명(124.53)]

단순히 그런 뜻이라면 예를 들어 1부터 1.5까지 더한다는 말이 의미가 있을까? 당연히 별 의미 없겠지

[익명(61.75)]

합니다. 최종적으로 하고 싶은건 수열의 합 자체를 미분하는건데요 f'(lnf) = 0일 땐 이걸 극한으로 계산할 수 있긴한데 그렇지 않은 수열에 대해선 그게 안돼서 일반적인 함수에 대해 실수번 합을 했을 때 성립하는 성질이 어떤 것들이 있나 찾고 있습니다

[익명(124.53)]

1부터 n까지 더하는 건 n(n+1)/2니까 x까지 더하는 건 x(x+1)/2 아닐까? 뭐 이런 고민을 해볼수도 있지만, 사실 부분합 식을 n(n+1)/2+sin(pi n)으로 생각하면 1부터 x까지 합을 x(x+1)/2+sin(pi x)라고 일반화할 수도 있는 거잖아 그러니 부분합에 단순히 x를 넣는다는 것도 잘 정의되는 말이 아님

[익명(61.75)]

아마 님처럼 생각하는 사람들이 많아서 실수번합에 대해 알려진 바가 많이 없는 듯 싶긴하네요 하지만 제가 고민하고 있는 문제에선 이 개념이 매우 중요한 상황입니다 그런데 기존의 정의들만 가지고 어떻게 확장을 시킬지 상상이 안돼요

[익명(61.75)]

예 그래서 합에 실수를 넣기 위해 추가적인 제한 조건이 필요할 것으로 생각이 되곤 있습니다 물론 삼각함수나 바닥함수같은걸 쓰면 정수값에서만 일치하는 함수를 만들수야 있긴 한데 이게 실제로 문제에서 정답으로 나오는 함수는 형태가 딱 정해져 있더라구요 그래서 그걸 만족하려면 도대체 어떤 정의가 필요할까 생각 중이구요

[익명(61.75)]

실수 x까지 더한 합공식이 유일하기 위한 정의를 찾는 게 제가 원하는건데 일단 저는 검색해도 나오는게 딱히 없어서 관련해서 다루는 정리나 그런게 있는지 먼저 찾아보고 있습니다

[익명(218.54)]

비슷한 질문 얼마전에 올라왔었음

[익명(218.54)]

양수로 이루어진 임의의 집합의 모든 원소의 합은 모든 유한합의 모임의 상한으로 정의할 수 있을거임. 음수로 이루어진 임의의 집합의 모든 원소의 합은 원소의 부호를 모두 바꿔서 합을 구하고 다시 부호를 바꾸면 됨. 수의 음양에 제한을 두지 않은 임의의 집합의 모든 원소의 합은 양수끼리의 합과 음수끼리의 합을 더한것임.

[익명(218.54)]

근데 다시찾아보니까 내가 본 자료에는 가산집합에서만 정의하더라. 예전에 유튜브에서 지나가다 봤는데 0이 아닌 원소들의 비가산 합은 반드시 발산한다고 한거같음.

[익명(61.75)]

시그마에 실수가 들어갔다 해서 비가산합이라고 보긴 힘들다고 생각하는데요. 그냥 지수의 확장과 비슷한 맥락이 아닐까요?

[익명(61.75)]

그렇다고 가산합이라 보기도 힘들겠지만 대부분의 합공식들이 발산하는 점 없이 실수상에서 잘 정의되어있긴 하잖아요?

[익명(218.54)]

질문이 내가 생각하는만큼 건전한 질문이 아니었구나

[익명(61.75)]

건전하지 않다는게 무슨 말씀이신지..ㅎㅎ

[수갤러 1(39.7)]

팩토리얼 정수에서 실수로 확장하는 논리 참고할만하지 않나 - dc App

[익명(61.75)]

팩토리얼 해석적 연속처럼 극한을 이용하면 f'(∞) = 0인 조건일 때 수열의 합의 정의역을 확장시킬 수 있긴 한데 이게 일반적으로 적용되는 방법은 아니라서 다른 방법을 찾고 있는거에요

[익명(121.163)]

저 기호를 정의하는것부터가 문제인거같음. 댓글 다 읽어봤는데 어떤 의미에서 저런걸 하겠다는건지 이해가 안감

[익명(121.163)]

'실수번' 더하겠다는건 저 기호에서 '더해야 할' f(k) 들이 비가산개라는거 아님? {f(k) : kㅌ?}

[익명(121.163)]

실수의 부분집합인 비가산집합의 합은 위에서 어떤 게이가 말한것처럼 아무렇게나 가산개 뽑아내서 하나라도 발산하면 주어진 합 Σf(k) 를 무한으로 정의하고, 임의로 가산개 뽑은게 전부 다 수렴하면 그 수렴값들의 supremum을 Σf(k) 로 정의할 수 있음

[익명(121.163)]

근데 또 비가산은 아니라며? 그렇다고 윗끝에 그냥 x 대임한거도 아니고?? 그럼 너가 고민하고있는 맥락이나 동기가 뭔지 구체적으로 알려줘야지 남들이 더 도와줄 수 있음

[익명(61.75)]

아 확실하게 말씀드리면 제가 알고 싶은것은 어떤 연속함수 f(x)가 있을 때 저 시그마 기호를 이용한 연산결과를 x에 대한 하나의 함수로 보았을 때, x가 정수이면 기존의 정의인 하나씩 더하는 덧셈의 의미가 되고 그 이외의 점에선 정수점에서의 함숫값은 유지한채로 연속이면서 미분가능한 유일한 해석적 연속을 정의하는 방법이 되겠습니다!

[익명(61.75)]

'실수번'이라는 것은 그냥 이해가 쉽도록 말한 것일 뿐이구요 저 x에 실수가 들어갔을 때는 더이상 합의 의미가 있을 것 같지는 않습니다 2×3은 2를 3번 더한다고도 말하지만 2×3.5는 그렇지 않잖아요?

[익명(61.75)]

윗분이 말씀해 주신 거처럼 팩토리얼의 해석적 연속인 감마함수를 예로 들 수 있을 것 같은데요 위에선 f(k)의 1부터 x항까지의 합이라면 감마함수는 복소수 z에 대하여 k의 1부터 z-1까지의 곱으로 정의가 되거든요 그런데 곱하는 횟수가 자연수일 때만 곱의 의미를 생각할 수 있기에 자연수점 이외의 함숫값들은 감마함수의 유일성을 보장해주는 성질로부터 유도해

[익명(61.75)]

계산하는데 이 성질들이 감마함수에만 적용할 수 있는거라서요

[익명(211.234)]

일반적으로 발산하는 복소수열 zn이 있으면 그 g(zn)=(니가원하는 값 아무거나)=(an) 을 만족하는 전해석함수 g가 있음. 아이디어는 바이어슈트라스 factorization thm 에 의해 zn에서 simple zero를 갖는 전해석함수가 존재하는게 보장이 되는데, 걔를 f 라고 하면 Σ(an f(z)/f'(z)(z-z0) ) 를 생각하고 얘가 잘 수렴하게 하기 위해서 뭘 잘 곱해주면 됨 알포스에 있는데

[익명(61.75)]

이를 통해 k^2을 1부터 x까지 합했을 때는 왜 x(x+1)(2x+1)/6 + a가 아니라 x(x+1)(2x+1)/6 이어야만 하는지, 또 아예 합공식을 모르는 합에 대해서도 굳이 모든 x에 대한 함숫값을 알지 않아도 되니 1/2까지의 합, 무리수 e까지의 합을 계산이 가능하게는 만들 수 있을 것 같은 생각이 들어서 질문드리게 된겁니다

[익명(211.234)]

구글에 ahlfors complex analysis pdf 치면 맨위에 책 다운받아지는데 거기서 197페이지 1번 exercise가 정확히 이 내용이거든? 그 바로 윗 내용읽어봐봐 난 직접 어떤 값을 계산하려고 시도한 적은 없어서 실제 계산하는데 도움이 되는진 모르겠음

[익명(211.234)]

너가 궁금해하는게 굉장히 난잡해지는데 1. Σk^n 의 합을 표현하는 함수가 유일 2. (1/2) 까지의 합(????) 3. e 까지의 합(??????) 난 2번,3번이 뭘 의미하는지도 모르겠고 1,2,3 사이에 어떤 연관성이 있는지도 모르겠다

[익명(211.234)]

너가 어떤의미에서든 S(n)=Σ(k=1 to n) f(k) 이 S(n) 을 해석적으로 확장하고싶다면 당연히 그런 함수 g는 sin(πz) 를 잘 구워삶아서 만들 수 있음. 그 함수의 함숫값도 어떻게 잘 하면 구할 수 있을거임. 그리고 그런 함수는 identity thm에 의해 유일하기 때문에 혹시 S(n)을 잘 확장해내는 서로다른 함수가 존재하지 않을까 하고 걱정할 필요도 없음. 만약 그 함수의 함숫값 g(a)를 문학적으로 'a까지의 합' 이라고 말하고 싶다면 그래도 됨. 그냥 이름 바꿔부르기에 불과하다는것만 잘 인지하면 됨

[익명(61.75)]

음.. 일단 항등정리가 두 '정칙'함수에 대해 다루는 걸로 나오는데 앞으로 편하게 S(n) = Σ(k=1 to n) f(k)라 하면 일단 S(n)이라는 함수가 자연수 집합에서만 정의가 되어있어서 이걸 적용할 수 있을지 의문이 들거든요.. 그리고 바이어슈트라스 분해정리가 합의 정의역 확장에 연관이 있는지도 잘모르겠어요

[익명(61.75)]

다시 정리해드리면 최종적으로 제가 궁금한 것은 S(n) = Σ(k=1 to n) f(k)이 있을 때 여기선 n이 자연수라면 S(x) 이런식으로 n자리에 실수를 넣는다고 했을 때 이걸 어떻게 계산할 수 있느냐거든요? 그런데 S(n)을 f(x)의 함숫값의 합으로 정의를 했기 때문에 우리가 이 정보로 알 수 있는 건 f(x)의 1, 2, 3, ···에서의 함숫

[익명(61.75)]

값을 더하고 빼서 계산할 수 있는 정수점에서의 값뿐이란 말이죠 그래서 정수일 때 0이되는 sin(2πx) 같은걸 이용하면 정수 n에 대하여 S(n) = S(n) + sin(2πn)이기 때문에 n자리에 그냥 x넣어서 실수에서의 합공식이라 해버리면 S(x)도 이 합의 확장이 될 수 있는거고 S(x) + sin(2πx)도 이 합의 확장이 되어버리는 불상사가 발생

[익명(61.75)]

을 하기 때문에 S(n) → S(x)로의 확장은 하나밖에 없도록 해주는 유일성을 보장해줄 정의가 필요하다는 거에요 만약 이 정의가 있다면 S(n)에서 n자리에 실수 x를 넣었을 땐 "이렇게로만 계산해야 된다"를 알게되는거니까 그 계산이 복잡하더라도 '가능'은 하게 될거라 생각돼요

[익명(61.75)]

쉽게 예를 들면 f(x) = √(x) 일 때 S(n) = Σ(k=1 to n) √(k)이므로 S(2) = 1 + √2, S(3) = 1 + √2 + √3이라 할 수 있지만 S(e) 또는 S(1/2) 같은건 도대체 어떻게 계산해야될지 감도 안오고 유일성을 보장해주는 정의가 없다면 그 값자체도 하나로 특정지을 수가 없죠

[료가다(topology5000)]

코드가 길어서 걍 반고닉 가져올게 Sn이 결국 수열이잖아 너는 Sn을 확장해서 새로운 함수 f를 만들어가지고 f(n)=Sn 이고 f가 해석적(정칙)이길 바란다며

[료가다(topology5000)]

바이어슈트라스 정리를 잘 구워삶고 저 1번문제에서 얘기한대로 함수를 구성하면 정확히 n에서 Sn의 함숫값을 갖는 전해석함수가 존재하잖음 그래 너가 말한대로 identity thm은 여기서 쓸수가 없네 이건 내가 착각한거임 유일성 성립 안함

[료가다(topology5000)]

그럼 상황은 정말 간단해진거 아닌가? 너가 뭘 찾고있든 네가 갖고있는 조건으로는 그게 유일하지 않고 정의가 안된다는거 아님?

[익명(61.75)]

아 그쵸 g(n) = S(n)을 만족시키는 해석함수 g(x)를 얼마든지 만들 수야 있긴 하겠죠

[익명(61.75)]

네네 맞아요

[익명(61.75)]

유일성 문제를 f(x) = c (c는 상수)일 때도 적용시킬 수 있는 데 보통 상수를 x까지 합한다 하면 S(x) = Σ(k=1 to x) c에서 당연히 S(x) = cx가 되야할 것 같지만 위와 같은 논리로 S(x) = c(x + sin(2πx))도 될 수 있는 거잖아요 근데 여기서 c와 x모두 k에 대해서는 상수이기 때문에 곱셈의 교환법칙을 이용해 "c의 x까지의 합과 x의 c까지의 합이 같아야 한다"를 적용시키면 cx = Σ(k=1 to x) c = Σ(k=1 to c) x = xc 에서 S(x) = cx일 수 밖에 없게되거든요? 아마(?) 이런 비슷한 원리를 상수가 아닐 때는 어떻게 생각해야 될지 여기서 막혀버렸습니다