논리적으로 오류 있어도 되니까 고딩들도 이해할 만하게 비유 같은거 들거나 하는 식으로 intuitive 하게 설명할수 있는 방법 뭐가 있을까
예를 들어 극한이라는 개념을 x가 a로 다가갈수록 f(x)가 다가가는 특정 값이라고 고등학교에서는 설명하는데 이게 수학적으로 엄밀하진 않지만 직관적으로 쉽게 납득 가능한 정의잖음. 또 다른 예시로는 확률을 고등학교에서 설명하는 방식도 있고 집합의 연산도 중학교 수준에서는 벤 다이어그램 통해서 직관적으로 설명하고 또 그렇게 해도 대부분은 맞게 나오잖음 수학적으로는 엄밀하다고 보긴 조금 무리가 있지만
르벡적분이랑 측도 같은거도 마찬가지로 수학 모르더라도 '아 대충 이런거구나' 라는 식으로 와닿게 설명할 수 있을까?
보통 리만적분은 그래프 아래 넓이를 세로로 (x축을) 잘게 잘라서 구하고 르벡적분은 가로로 (y축을) 잘게 잘라서 계신한다는 비유를 많이 함
함수값에 따라 집합을 나누고 나뉜 집합의 면적(측도) x 함수값 해서 더한 거 = 르벡적분
1댓 설명이 흔하긴 한데 오해하기 딱 좋고 처음부터 2댓처럼 설명해야됨. 어차피 르베그 적분도 결국 면적을 쪼개는 방향은 세로로 쪼개는거임.(일변수 함수 기준)
측도 대신 '길이'라는 단어 쓰면 좋을 것이고, rect function 같은 애들로 그림 그리면서 설명해가면 금방 이해할거다.
편의상 f(x)≥0인걸 생각하고 리만적분은 y축이랑 평행한 선들을 긋고 두 선 사이의 영역을 막대처럼 계산한 것(의 극한)이고 르벡적분은 x축이랑 평행한 선들을 긋고 두 선 사이의 영역을 윗쪽의 선이 영역이랑 겹친 만큼만 가로로, 두 선 사이의 거리를 세로로 해서 계산한 것(의 극한)임
"막대처럼"은 사실 막대의 높이를 가장 높은거, 가장 낮은거를 다 봐야함, 그래서 불연속이 있을수록 어려워짐 유리수에서 1 무리수에서 0인 함수 g는 리만적분이 불가능함 "선이 영역이랑 겹친 만큼"의 계산은 상대적으로 덜 곤란하고 위의 g도 르벡적분이 가능함(그래도 불가능한 경우는 존재함) 리만적분이 가능하면 르벡적분도 가능하다는 정리를 말해주면 좋음
편하게 일변수함수를 가지고 생각하면 흔히 함수를 가로로 쪼갠다고 생각들 하는데, 함수를 가로로 잘라서 결국 쪼개는 폭을 무한히 작게 만들고 싶은 거잖아? 리만적분은 파티션을 잘게 쪼개면 결국 함수값들이 중요해지는 것이지만 르벡적분은 반대로 함수값은 0으로 가게 될 거고, 가로선 즉 함수의 정의역에 포함되는 구간의 크기 (집합의 측도)가 중요해지는 거니까 결국 집합의 크기(측도)가 필요해지는 것이라고 측도론 공부 안해본 나의 뇌피셜임 - dc App