질문은 제일 아랫쪽에 있습니다.


Ring에서 곱셈에 대한 항등원(multiplicative identity)는 대개 양쪽 방향으로 원래 원소를 보존해주는 원소를 말하죠?
예를들면 ring을 R이라고 쓰면, R의 모든 원소 x에 대해서

xe = ex = x

를 만족하는 e가 존재하면 이걸 (two-sided) unity (혹은 multiplicative identity) 라고 하더라구요.
그리고 ax = x 를 만족하는 a는 left-identity, xb = x를 만족하는 b는 right-identity라고 하는 것도 배웠습니다.
일단 이 글에서는 ring에서 unity가 없어도 된다고 가정합시다.

Unity의 존재 여부에 대해서 물어보는 글이니까요.


제가 non-commutative ring에 대해서 공부하다가 아래의 경우까지는 알아냈습니다
1) left-identity는 무수히 많지만 right-identity는 단 하나도 없는 ring이 있다 (모든 성분이 정수들인 2x2 행렬들의 부분집합중에서, 2행의 성분이 0인 행렬들의 집합이 그 예시이다)
2) 마찬가지로, right-identity는 무수히 많지만 left-identity는 단 하나도 없는 ring도 있다 ( 위의 예시에서 transpose하면 된다)
3) left-identity나 right-identity가 단 하나도 없는 것은 2Z
4) 위의 1),2)에서 성분을 Z가 아니라 Z/n으로 바꾸면, one-sided identity가 딱 n개만 나오는 ring도 만들 수 있다.
5) 만약 어떤 ring이 left-identity와 right-identity가 각각 존재하고 이를 a,b라고 하자. 그러면 즉시 a = ab = b 에 의해 둘은 같아지고, two-sided가 되며, 다른 모든 identity들이 이것과 같으므로 이 ring은 유일한 identity (그것도 two-sided)를 가지게 된다.




근데 여기에서, ring인데 left-sided identity만 가지며, 그 left-identity의 갯수도 딱 1개뿐인 ring은 고민을 꽤 오래 했는데도 나오지가 않습니다 (물론 이 left-sided identity는 right-sided는 아니며, 이 ring은 nonisomorphic to zero ring이여야합니다.)
이런 경우가 어떤 경우가 있을까요? 혹은 존재하지 않나요??
다른 일을 하느라 댓글을 즉각 보진 못합니다. 양해해주시면 감사하겠습니다.